Question

如圖所示，在Rt△ABC中，∠C=30°，∠ABC=90°，D為AC的中點，E為BD的中點，AE的延長線交BC于F，將△ABD沿BD折起，折起后∠AEF=θ．
（1）求證：平面AEF⊥平面BCD；
（2）cosθ為何值時，AB⊥CD？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)折起前后沒有發(fā)生變化的幾何量尋找線線垂直，從而證明線面垂直，進(jìn)而得到面面垂直；
（2）構(gòu)造一個過直線AB且與直線CD垂直的平面，根據(jù)幾何量的關(guān)系求出cosθ的值．

解答：證明：（1）在Rt△ABC中，∠C=30°，D為AC的中點，則△ABD是等邊三角形．
又E是BD的中點，
故BD⊥AE，BD⊥EF．
折起后，AE∩EF=E，
所以BD⊥平面AEF，而BD?平面BCD，
所以平面AEF⊥平面BCD；
（2）如圖所示，
過A作AP⊥平面BCD于P，則P在FE的延長線上．
設(shè)BP與CD的延長線相交于Q，令A(yù)B=1，則△ABD是邊長為1的等邊三角形．
若AB⊥CD，又AP⊥CD，AB∩AP=A，則CD⊥平面ABP，于是有BQ⊥CD．
在Rt△CBQ中，∠C=30°，故∠CBQ=60°，又∠CBD=30°，故∠EBP=30°．
在Rt△EBP中，PE=BE×tan30°=

1

2

×

3

3

=

3

6

．
又AE=

3

2

，故cosAEP=

PE

AE

=

3 6

3 2

=

1

3

，
折起后有cosθ=cos（π-∠AEP）=-

1

3

，
故當(dāng)cosθ=-

1

3

時，AB⊥CD．

點評：本題考查平面與平面垂直的判定，考查直線與平面垂直的性質(zhì)，考查推理證明與計算能力，屬于中檔題．