Question

已知函數(shù)（，），．

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并確定其零點個數(shù)；

（2）若在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增，求的取值范圍；

（3）證明不等式 （）．

 

Answer 1

（1）當時，為的減區(qū)間，為的增區(qū)間，有且只有一個零點；當時，為的增區(qū)間，為的減區(qū)間，有且只有一個零點．

（2）；（3）祥見解析．

【解析】

試題分析：（1）首先求出已知函數(shù)的導數(shù)，然后由導數(shù)為正（為負）求得函數(shù)的增（減）區(qū)間，結合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間就可求得函數(shù)的零點的個數(shù)；注意分類討論；（2）由在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增，可知，恒成立，從而就可利用二次函數(shù)的圖象來求得字母的取值范圍；或者分離參數(shù)將不等式的恒成立問題轉化為函數(shù)的最值問題來加以解決；（3）觀察所證不等式左右兩邊，聯(lián)想已知的函數(shù)，由（2）可知 當時，在內(nèi)單調(diào)遞增，而，所以當時，，即 令 ， 則 即: ，然后再令n=1，2，3，…，n得到n個式子，將這n個式子相加就可得到所證不等式．

試題解析：（1） 1分

則

…2分

（i）若，則當時，；當時，

所以 為的增區(qū)間，為的減區(qū)間． 3分

極大值為

所以只有一個零點．

（ii）若，則當時，；當時，

所以 為的減區(qū)間，為的增區(qū)間．

極小值為 4分

所以只有一個零點．

綜上所述，

當時，為的減區(qū)間，為的增區(qū)間，有且只有一個零點；

當時，為的增區(qū)間，為的減區(qū)間，有且只有一個零點． 5分

（2） …6分

由在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增，可知，恒成立．

則 恒成立． 7分

(法一)由二次函數(shù)的圖象(開口向上，過定點)可得或 8分

則 或，則 或，得 ．

可以驗證 當時在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增故 ． 9分

(法二)分離變量

因 （當且僅當，即時取到等號）…8分

所以 ， 則．

可以驗證 當時在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增，故 9分

（3）由（2）可知 當時，在內(nèi)單調(diào)遞增，

而

所以當時，，即 10分

令 ， 則 …11分

則

所以 ，， ， ，，

以上個式子累加可得

12分

則

則 13分

則

故 （）． 14分

考點：１．利用函數(shù)的導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；２．函數(shù)的零點；３．函數(shù)與不等式的綜合．