Question

15．對(duì)于給定的正整數(shù)k，若數(shù)列{a_n}滿足：a_n-k+a_n-k+1+…+a_n-1+a_n+1+…+a_n+k-1+a_n+k=2ka_n對(duì)任意正整數(shù)n（n＞k）總成立，則稱(chēng)數(shù)列{a_n}是“P（k）數(shù)列”．
（1）證明：等差數(shù)列{a_n}是“P（3）數(shù)列”；
（2）若數(shù)列{a_n}既是“P（2）數(shù)列”，又是“P（3）數(shù)列”，證明：{a_n}是等差數(shù)列．

Answer 1

分析 （1）由題意可知根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，a_n-3+a_n-2+a_n-1+a_n+1+a_n+2+a_n+3=（a_n-3+a_n+3）+（a_n-2+a_n+2）+（a_n-1+a_n+1）═2×3a_n，根據(jù)“P（k）數(shù)列”的定義，可得數(shù)列{a_n}是“P（3）數(shù)列”；
（2）由已知條件結(jié)合（1）中的結(jié)論，可得到{a_n}從第3項(xiàng)起為等差數(shù)列，再通過(guò)判斷a₂與a₃的關(guān)系和a₁與a₂的關(guān)系，可知{a_n}為等差數(shù)列．

解答 解：（1）證明：設(shè)等差數(shù)列{a_n}首項(xiàng)為a₁，公差為d，則a_n=a₁+（n-1）d，
則a_n-3+a_n-2+a_n-1+a_n+1+a_n+2+a_n+3，
=（a_n-3+a_n+3）+（a_n-2+a_n+2）+（a_n-1+a_n+1），
=2a_n+2a_n+2a_n，
=2×3a_n，
∴等差數(shù)列{a_n}是“P（3）數(shù)列”；
（2）證明：當(dāng)n≥4時(shí)，因?yàn)閿?shù)列{a_n}是P（3）數(shù)列，則a_n-3+a_n-2+a_n-1+a_n+1+a_n+2+a_n+3=6a_n，①，
因?yàn)閿?shù)列{a_n}是“P（2）數(shù)列”，所以a_n-3+a_n-3+a_n+a_n+1=4a_n-1，②，
a_n-1+a_n+a_n+2+a_n+3=4a_n+1，③，
②+③-①，得2a_n=4a_n-1+4a_n+1-6a_n，即2a_n=a_n-1+a_n+1，（n≥4），
因此n≥4從第3項(xiàng)起為等差數(shù)列，設(shè)公差為d，注意到a₂+a₃+a₅+a₆=4a₄，
所以a₂=4a₄-a₃-a₅-a₆=4（a₃+d）-a₃-（a₃+2d）-（a₃+3d）=a₃-d，
因?yàn)閍₁+a₂+a₄+a₅=4a₃，所以a₁=4a₃-a₂-a₄-a₅=4（a₂+d）-a₂-（a₂+2d）-（a₂+3d）=a₂-d，
也即前3項(xiàng)滿足等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，
所以{a_n}為等差數(shù)列．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)，考查數(shù)列的新定義的性質(zhì)，考查數(shù)列的運(yùn)算，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．