Question

對于定義域為正整數(shù)N⁺，值域為正整數(shù)N⁺的子集的函數(shù)y=f（x），若滿足①y=f（x）為單調(diào)增函數(shù)；②對于任意的n∈N⁺，都有f（f（n））=4n，則該函數(shù)為“H函數(shù)”．
（1）判斷若函數(shù)f（x）=2x（x∈N⁺）是否為“H函數(shù)”；
（2）證明：若函數(shù)y=f（x）為“H”，則對于任意的n∈N⁺，都有

8

5

n≤f（n）≤

5

3

n．

Answer 1

考點：函數(shù)的值

專題：新定義,函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（1）根據(jù)題意，判斷函數(shù)f（x）=2x是“H函數(shù)”；
（2）由函數(shù)y=f（x）為“H函數(shù)”，判斷f（n+1）＞f（n），得f（n+1）≥f（n）+1，f（n）≤

5

2

n，且f（n）≥

8

5

n，即證

8

5

n≤f（n）≤

5

2

n．

解答： 解：（1）對于函數(shù)f（x）=2x，當x∈N⁺時，該函數(shù)是增函數(shù)；
∴函數(shù)f（x）對任意的n∈N⁺，f（f（n））=f（2n）=4n，
∴f（x）=2x（x∈N⁺）是“H函數(shù)”；
（2）證明：若函數(shù)y=f（x）為“H函數(shù)”，則對任意的n∈N⁺，有f（n+1）＞f（n），
又因為函數(shù)y=f（n）的值域是正整數(shù)集N⁺的子集，
所以f（n+1）≥f（n）+1，
因而有f（f（n））=f（n+f（n）-n）≥f（n）+（f（n）-n）=2f（n）-n，
即4n≥2f（n）-n，
所以f（n）≤

5

2

n；
在上式中，以f（n）代替n，得f（f（n））≤

5

2

f（n），
即4n≤

5

2

f（n），
所以f（n）≥

8

5

n；
綜上，

8

5

n≤f（n）≤

5

2

n．

點評：本題考查了新定義的應用問題，解題時應理解新定義的概念的問題，是中檔題目．