Question

定義在R上的函數y=f（x）是減函數，且函數y=f（x-2）的圖象關于點（2，0）成中心對稱，若m，n滿足不等式f（m²-2m）+f（2n-n²）≤0．則當1≤m≤4時，

n

m

的取值范圍是（　　）

• A、[-

  1

  4

  ，1）
• B、[-

  1

  4

  ，1]
• C、[-

  1

  2

  ，1）
• D、[-

  1

  2

  ，1]

Answer 1

考點：函數單調性的性質

專題：函數的性質及應用

分析：根據條件，確定函數的奇偶性，利用函數的奇偶性和單調性將不等式進行轉化，利用線性規(guī)劃的知識即可得到結論．

解答： 解：∵函數y=f（x-2）的圖象關于點（2，0）成中心對稱，
∴函數y=f（x）的圖象關于點（0，0）成中心對稱，
即函數f（x）是奇函數，
則不等式f（m²-2m）+f（2n-n²）≤0等價為f（m²-2m）≤-f（2n-n²）=f（-2n+n²），
∵定義在R上的函數y=f（x）是減函數，
∴m²-2m≥n²-2n，即（m-n）（m+n-2）≥0，且1≤m≤4，
作出不等式組對應的平面區(qū)域如圖：
設z=

n

m

，則z的幾何意義為區(qū)域內的動點P（m，n）與原點連線的斜率，
則由圖象可知當P位于直線AB上時，直線斜率最大，此時z=1，
當P位于點C時，直線OC的斜率最小，
由

m=4 m+n-2=0

，解得

m=4 n=-2

，
即C（4，-2），此時z的最小值為

-2

4

=-

1

2

，
∴-

1

2

≤

n

m

≤1，
故選：D．

點評：本題主要考查函數奇偶性和單調性的應用，利用線性規(guī)劃以及直線斜率的幾何意義是解決本題的關鍵，綜合性較強，有一定的難度．