(2007•上海模擬)(1)若直角三角形兩直角邊長之和為12,求其周長p的最小值;
(2)若三角形有一個內(nèi)角為arccos
79
,周長為定值p,求面積S的最大值;
(3)為了研究邊長a,b,c滿足9≥a≥8≥b≥4≥c≥3的三角形其面積是否存在最大值,現(xiàn)有解法如下:16S2=(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)=[(a+b)2-c2][c2-(a-b)2]=-c4+2(a2+b2)c2-(a2-b22=-[c2-(a2+b2)]2+4a2b2
而-[c2-(a2+b2)]2≤0,a2≤81,b2≤64,則S≤36,但是,其中等號成立的條件是c2=a2+b2,a=9,b=8,于是c2=145與3≤c≤4矛盾,所以,此三角形的面積不存在最大值.
以上解答是否正確?若不正確,請你給出正確的答案.
(注:16S2=(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)稱為三角形面積的海倫公式,它已經(jīng)被證明是正確的)
分析:(1)設(shè)直角三角形兩直角邊長為x、12-x,斜邊長為y,由勾股定理和二次函數(shù)的性質(zhì)求出y的最小值,即得周長p的
最小值.
(2)根據(jù)周長p=x+y+
x2+y2-2xy•
7
9
,利用基本不等式求得 xy≤
9
64
p2
,再由S=
1
2
xysin(arccos
7
9
)
=
2
2
9
xy
,求得面積S的最大值.
(3)不正確,由海倫公式化簡可得16S2=-[a2-(b2+c2)]2+4b2c2 ,而-[a2-(b2+c2)]2≤0,b2≤64,c2≤16,
則S≤16,故當(dāng)三角形的邊長為4
5
,8,4
的直角三角形時,其面積取得最大值16.
另解:S=
1
2
bcsinA≤
1
2
•8•4•sin90°=16
解答:解:(1)設(shè)直角三角形兩直角邊長為x、12-x,斜邊長為y,則y=
x2+(12-x)2
=
2(x-6)2+72
≥6
2
,
∴兩直角邊長為6時,周長p的最小值為12+6
2

(2)設(shè)三角形中邊長為x、y的兩邊所夾的角為arccos
7
9
,則周長p=x+y+
x2+y2-2xy•
7
9
,
p≥2
xy
+
2xy-
14
9
xy
=
8
3
xy
,即xy≤
9
64
p2

又S=
1
2
xysin(arccos
7
9
)=
2
2
9
xy≤
2
32
p2
,∴為
2
32
p2

(3)不正確.16S2=(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)=[(b+c)2-a2][a2-(b-c)2]
=-a4+2(b2+c2)a2-(b2-c22 =-[a2-(b2+c2)]2+4b2c2
而-[a2-(b2+c2)]2≤0,b2≤64,c2≤16,則S≤16,
其中等號成立的條件是 a2=b2+c2,b=8,c=4,則a=4
5

∴當(dāng)三角形的邊長為4
5
,8,4
的直角三角形時,其面積取得最大值16.
( 另解:S=
1
2
bcsinA≤
1
2
•8•4•sin90°=16
點評:本題考查基本不等式,反余弦函數(shù)的定義,海倫公式的應(yīng)用,三角形中的幾何計算,屬于中檔題.
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sin2x
=
1
2
1
2

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1
1

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