Question

解關(guān)于x的不等式ax+

1

x

≥a+1(a∈R)．

Answer 1

考點：其他不等式的解法

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：將不等式進行“移項，通分”，轉(zhuǎn)化為

(ax-1)(x-1)

x

≥0，根據(jù)各個因式對應(yīng)根的大小進行分類討論，分別求解不等式的解集即可得．

解答： 解：∵不等式ax+

1

x

≥a+1(a∈R)，
∴變形為

ax2-(a+1)x+1

x

≥0，
因式分解可得，

(ax-1)(x-1)

x

≥0，（*）
①當a=0時，（*）即為

x-1

x

≤0，解得0＜x≤1；
②當a≠0時，（*）即為

a(x- 1 a )(x-1)

x

≥0，
（i）當

1

a

＜0，即a＜0時，解得x≤

1

a

或0＜x≤1；
（ii）當

1

a

≥1，即0＜a≤1時，解得0＜x≤1或x≥

1

a

；
（iii）當

1

a

＜1，即a＞1時，解得0＜x≤

1

a

或x≥1．
綜上所述，當a=0時，原不等式的解集為{x|0＜x≤1}，
當a＜0時，原不等式的解集為{x|x≤

1

a

或0＜x≤1}，
當0＜a≤1時，原不等式的解集為{x|0＜x≤1或x≥

1

a

}，
當a＞1時，原不等式的解集為{x|0＜x≤

1

a

或x≥1}

點評：本題考查了分式不等式的解法，高次不等式的解法．解題的關(guān)鍵是如何進行合理的分類討論．對于分式不等式，一般是“移項，通分”，將分式不等式轉(zhuǎn)化為各個因式的正負問題．高次不等式一般選用“穿根法”進行求解，“穿根法”要注意先確定各因式的根，在數(shù)軸上按照從小到大標出來，確定各因式的系數(shù)為正值，根據(jù)“奇穿偶不穿”的原則，即可得到不等式的解集．屬于中檔題．