已知函數(shù)f(x)=
ax
+x+(a-1)lnx-15a,其中a<0,且a≠-1.
(Ⅰ)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性.
(Ⅱ)設(shè)a>-e10,且函數(shù)f(x)在[1,+∞)上的最小值為2,求a的值.
分析:(Ⅰ)確定函數(shù)的定義域,求導(dǎo)函數(shù),分類討論,由導(dǎo)數(shù)的正負(fù),可確定函數(shù)f(x)的單調(diào)性;
(Ⅱ)分類討論:當(dāng)-1<a<0時(shí),f(x)在[1,+∞)上是增函數(shù),f(x)在[1,+∞)上的最小值是f(1);當(dāng)a<-1時(shí),f(x)在[1,+∞)上的最小值是f(-a),由此可得a的值.
解答:解:(Ⅰ)f(x)的定義域?yàn)椋?,+∞),f′(x)=-
a
x2
+1+
a-1
x
=
(x+a)(x-1)
x2
.…(1分)
(ⅰ)當(dāng)-1<a<0時(shí),由f'(x)>0得0<x<-a或x>1;由f'(x)<0得-a<x<1.
故f(x)在(0,-a),(1,+∞)上單調(diào)遞增,在(-a,1)上單調(diào)遞減.…(4分)
(ⅱ)當(dāng)a<-1時(shí),由f'(x)>0得0<x<1或x>-a;由f'(x)<0得1<x<-a.
故f(x)分別在(0,1),(-a,+∞)上單調(diào)遞增,在(1,-a)上單調(diào)遞減. …(7分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,當(dāng)-1<a<0時(shí),f(x)在[1,+∞)上是增函數(shù),
∴f(x)在[1,+∞)上的最小值是f(1)=a+1-15a=2,∴a=-
1
14
.       …(9分)
當(dāng)a<-1時(shí),f(x)在[1,+∞)上的最小值是f(-a)=-1-a+(a-1)ln(-a)-15a=2,
即-16a-3+(a-1)ln(-a)=0,
下證滿足此式的a不存在.
設(shè)F(x)=16x-3-(x+1)lnx,其中x=-a∈(1,e10).
F′(x)=16-(lnx+1+
1
x
)>0
,∴F(x)在(1,e10)上是增函數(shù),
∴F(x)>F(1)=13>0,∴-16a-3+(a-1)ln(-a)>0.
∴-16a-3+(a-1)ln(-a)=0無解
綜上,a=-
1
14
.                                    …(12分)
點(diǎn)評:本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運(yùn)用,考查函數(shù)的單調(diào)性,考查函數(shù)的最值,考查分類討論的數(shù)學(xué)思想,屬于中檔題.
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a-x2
x
+lnx  (a∈R , x∈[
1
2
 , 2])

(1)當(dāng)a∈[-2,
1
4
)
時(shí),求f(x)的最大值;
(2)設(shè)g(x)=[f(x)-lnx]•x2,k是g(x)圖象上不同兩點(diǎn)的連線的斜率,否存在實(shí)數(shù)a,使得k≤1恒成立?若存在,求a的取值范圍;若不存在,請說明理由.

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34
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2x
)>3

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