Question

已知函數(shù).

⑴ 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

⑵ 如果對(duì)于任意的，總成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

⑶ 是否存在正實(shí)數(shù)，使得：當(dāng)時(shí)，不等式恒成立？請(qǐng)給出結(jié)論并說(shuō)明理由.

 

Answer 1

【答案】

(1) .;(2) ⑶詳見(jiàn)解析.

【解析】

試題分析：(1)利用求導(dǎo)的基本思路求解，注意導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算；（2）利用轉(zhuǎn)化思想將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為總成立，只需時(shí).借助求導(dǎo)，研究的性質(zhì)，通過(guò)對(duì)參數(shù)k的討論和單調(diào)性的分析探求實(shí)數(shù)的取值范圍；⑶通過(guò)構(gòu)造函數(shù)和等價(jià)轉(zhuǎn)化思想，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為，要使在上恒成立，只需.然后利用求導(dǎo)研究函數(shù)的最大值，進(jìn)而證明結(jié)論.

試題解析：：(1) 由于，

所以.                 (2分)

當(dāng)，即時(shí)，；

當(dāng)，即時(shí)，.

所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，

單調(diào)遞減區(qū)間為.                                                             (4分)

(2) 令，要使總成立，只需時(shí).

對(duì)求導(dǎo)得，

令，則，()

所以在上為增函數(shù)，所以.                                                (6分)

對(duì)分類討論：

① 當(dāng)時(shí)，恒成立，所以在上為增函數(shù)，所以，即恒成立；

② 當(dāng)時(shí)，在上有實(shí)根，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013091400131036821018/SYS201309140014175143536750_DA.files/image028.png">在上為增函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，，所以，不符合題意；

③ 當(dāng)時(shí)，恒成立，所以在上為減函數(shù)，則，不符合題意.

綜合①②③可得，所求的實(shí)數(shù)的取值范圍是.                                                       (9分)

(3) 存在正實(shí)數(shù)使得當(dāng)時(shí)，不等式恒成立.

理由如下：令，要使在上恒成立，只需.                                                                                                              (10分)

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013091400131036821018/SYS201309140014175143536750_DA.files/image048.png">，且，，所以存在正實(shí)數(shù)，使得，

當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，即當(dāng)時(shí)，，所以只需均滿足：當(dāng)時(shí)，恒成立.                                      (12分)

注：因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013091400131036821018/SYS201309140014175143536750_DA.files/image055.png">，，所以

考點(diǎn)：1.函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用能力；2.用導(dǎo)數(shù)來(lái)描述函數(shù)的單調(diào)性、極值以及函數(shù)零點(diǎn)的情況.