Question

已知數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，且a₁=50，d=-3．
（1）若a_n＜0，求n的最小值；
（2）若S_n＞0，求n的最大值；
（3）求S_n的最大值．

Answer 1

考點：等差數(shù)列的通項公式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）根據(jù)題意和等差數(shù)列的通項公式求出通項公式，再由a_n＜0求n的范圍，由n的取值求出最小值；
（2）根據(jù)等差數(shù)列的前n項和公式表示出S_n，再由S_n＞0求n的范圍，由n的取值求出最大值；
（3）根據(jù)（2）得Sn=-

3

2

n2+

103

2

n，求出對稱軸方程，由n∈N₊和二次函數(shù)的性質(zhì)得，當(dāng)n=17時S_n取最大值，代入求出S_n的最大值S₁₇．

解答： 解：（1）由題意得，等差數(shù)列中，a₁=50，d=-3
所以，a_n=a₁+（n-1）d=53-3n，
令a_n＜0得，n＞

53

3

，又n∈N₊，則n≥18，
所以a_n＜0時n的最小值是18；
（2）Sn=

n(a1+an)

2

=

n(50+53-3n)

2

=-

3

2

n2+

103

2

n，
由Sn=-

3

2

n2+

103

2

n＞0得，0＜n＜

103

3

，
又n∈N₊，則n≤34，
所以S_n＞0時n的最大值是34；
（3）由（2）得，Sn=-

3

2

n2+

103

2

n，則對稱軸是n=

103

6

，
又n∈N₊，則當(dāng)n=17時S_n取最大值，
所以S₁₇=-

3

2

×172+

103

2

×17=342．

點評：本題考查等差數(shù)列的通項公式、前n項和公式，以及根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出S_n最大，注意n只取整數(shù)．