Question

已知函數f（x）=|x-1|+|x-4|-a，a∈R．
（1）當a=-3，求f（x）≥9的解集；
（2）當f（x）＞0在定義域R上恒成立時，求實數a的取值范圍．

Answer 1

考點：函數恒成立問題,帶絕對值的函數

專題：不等式的解法及應用

分析：（1）分x＜1時、1≤x≤4時和x＞4時3種情況加以討論，分別得到f（x）的表達式，再解不等式f（x）≥9，最后綜合可得所求的解集；
（2）f（x）＞0可化為|x-1|+|x-4|≥a，故把f（x）＞0在定義域R上恒成立轉化為|x-1|+|x-4|≥a在定義域R上恒成立，利用求最值解決．

解答： 解：（1）由于a=-3，∴f（x）=|x-1|+|x-4|-（-3）≥9，
∴|x-1|+|x-4|≥6
當x＜1時，|x-1|+|x-4|=1-x+4-x=-2x+5≥6，解得x≤-

1

2

；
當1≤x≤4時，|x-1|+|x-4|=x-1+4-x=3≥6，解集為∅；
當x＞4時，|x-1|+|x-4|=x-1+x-4=2x-5≥6，解得x≥

11

2

；
綜上所述，原不等式的解集為{x|x≤-

1

2

，或x≥

11

2

}．
（2）f（x）＞0可化為|x-1|+|x-4|≥a，
∴f（x）＞0在定義域R上恒成立也就是|x-1|+|x-4|≥a在定義域R上恒成立，
∵|x-1|+|x-4|≥|（x-1）-（x-4）|=3，
∴要使|x-1|+|x-4|≥a在定義域R上恒成立，只要使3≥a即可，∴a≤3，
∴a的取值范圍是（-∞，3）

點評：本題給出含有絕對值的函數，解關于x的不等式，著重考查了絕對值的含義、不等式的解法和不等式恒成立的問題，屬于中檔題．