Question

已知雙曲線，是右頂點，是右焦點，點在軸的正半軸上，且滿足，，成等比數列，過作雙曲線在第一、三象限的漸近線的垂線，垂足為．

（1）求證：；

（2）若直線與雙曲線的左、右兩支分別相交于點，求雙曲線的離心率的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

（1）證明：見解析。（2）．

【解析】

試題分析：（1）證明：直線為，     ①

在第一、三象限的漸近線，    ②

解①、②得垂足．

因為，，成等比數列，

所以可得點．

所以，，．

所以，．

因此；

（2）解：由得，

因為直線與雙曲線的左、右兩支分別相交于點，

所以，

所以，即，，，，，

因此．

考點：本題主要考查直線與雙曲線位置關系，雙曲線的幾何性質，等差數列基礎知識，平面向量的數量積。

點評：綜合性較強，在高考題中具有方向性。數形結合，綜合應用韋達定理。