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（1）判斷函數f(x)=x2+
1
x
在（1，+∞）上的單調性，并用定義法加以證明；
（2）若函數f(x)=x2+
a
x
在區(qū)間（1，+∞）上的單調遞增，求實數a的取值范圍．
分析：（1）利用函數單調性的定義進行證明．注意化簡f（x2）-f（x1）是一定要化到最簡．
（2）已知f（x）在區(qū)間（1，+∞）上單調遞增，即f′（x）≥0在區(qū)間（1，+∞）上恒成立，然后用分離參數求最值即可．
解答：解：（1）f（x）在（1，+∞）上的單調遞增                            …（2分）
x1，x2是區(qū)間（1，+∞）上的任意兩個值，且x1＜x2…（3分）
則x2-x1＞0，x1+x2＞2，x1x2＞1，
1
x1x2
＜1∴
1
x1x2
-(x1+x2)＜0…（5分）
f(x1)-f(x2)=
x
2
1
+
1
x1
-(
x
2
2
+
1
x2
)
=(x1+x2)(x1-x2)+
x2-x1
x1x2

=(x2-x1)[
1
x1x2
-(x1+x2)]＜0…（7分）
∴f（x1）＜f（x2）∴f（x）在（1，+∞）上的單調遞增   …（8分）
（2）f/(x)=2x-
a
x2
≥0在區(qū)間（1，+∞）上恒成立，∴a≤2x3在區(qū)間（1，+∞）上恒成立，∴a≤2．…（16分）
點評：本題考查函數單調性的判斷和已知函數單調性求參數的范圍，此類問題一般用導數解決，綜合性較強．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知集合M是同時滿足下列兩個性質的函數f（x）的全體：
①函數f（x）在其定義域上是單調函數；
②在函數f（x）的定義域內存在閉區(qū)間[a，b]使得f（x）在[a，b]上的最小值是
a
2
，且最大值是
b
2
．請解答以下問題
（1）判斷函數f(x)=x+
2
x
(x∈(0，+∞))是否屬于集合M？并說明理由；
（2）判斷函數g（x）=-x3是否屬于集合M？并說明理由．若是，請找出滿足②的閉區(qū)間[a，b]；
（3）若函數h(x)=
x-1
+t∈M，求實數t的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

對于函數y=f（x），x∈D，若同時滿足以下條件：
①函數f（x）是D上的單調函數；
②存在區(qū)間[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域也是[a，b]，
則稱函數f（x）是閉函數．
（1）判斷函數f(x)=2x+
4
x
，x∈[1，10]；g（x）=-x3，x∈R是不是閉函數，并說明理由；
（2）若函數f(x)=
x+2
+k，x∈[-2，+∞）是閉函數，求實數k的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知集合M是同時滿足下列兩個性質的函數f（x）的全體
①函數f（x）在其定義域上是單調函數．
②f（x）的定義域內存在區(qū)間[a，b]，使得f（x）在[a，b]上的值域為[
a
2
，
b
2
]．
（1）判斷函數f(x)=x+
2
x
(x＞0)是否屬于M，說明理由．
（2）判斷g（x）=-x3是否屬于M，說明理由，若是，求出滿足②的區(qū)間[a，b]．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設f（x）的定義域為（0，+∞），f（x）的導函數為f'（x），且對任意正數x均有f′(x)＞
f(x)
x
，
（1）判斷函數F(x)=
f(x)
x
在（0，+∞）上的單調性；
（2）設x1，x2∈（0，+∞），比較f（x1）+f（x2）與f（x1+x2）的大小，并證明你的結論；
（3）設x1，x2，…xn∈（0，+∞），若n≥2，比較f（x1）+f（x2）+…+f（xn）與f（x1+x2+…+xn）的大小，并證明你的結論．

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