Question

12．已知函數f（x）=2ax²+4x-3-a，a∈R．
（1）當a=1時，求函數f（x）在[-1，1]上的最大值；
（2）如果函數f（x）在R上有兩個不同的零點，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）當a=1時，f（x）=2x²+4x-4，分析x∈[-1，1]時的單調性，可得函數f（x）在[-1，1]上的最大值；
（2）如果函數f（x）在R上有兩個不同的零點，則$\left\{\begin{array}{l}a≠0\\△＞0\end{array}\right.$，解得a的取值范圍．

解答 解：（1）當a=1時，f（x）=2x²+4x-4
=2（x+1）²-6．
因為x∈[-1，1]時，函數為增函數，
所以x=1時，f（x）取最大值f（1）=2．
（2）∵如果函數f（x）在R上有兩個不同的零點，
∴$\left\{\begin{array}{l}a≠0\\△＞0\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}a≠0\\ 16+8a（a+3）＞0\end{array}\right.$
∴a＜-2或-1＜a＜0或a＞0，
∴a的取值范圍是（-∞，-2）∪（-1，0）∪（0，+∞）．

點評 本題考查的知識點是二次函數的圖象和性質，熟練掌握二次函數的圖象和性質，是解答的關鍵．