Question

17．已知函數(shù)$f（x）=1-\frac{a}{x}+ln\frac{1}{x}（{a為實常數(shù)}）$．
（Ⅰ）當a=1時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，3）上無極值，求a的取值范圍；
（Ⅲ）已知n∈N^*且n≥3，求證：$ln\frac{n+1}{3}＜\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+…+\frac{1}{n}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）當a=1時，求導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的正負求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，3）上無極值，分類討論，求a的取值范圍；
（Ⅲ）證明$ln\frac{1}{x}≤\frac{1}{x}-1$（當x=1時等號成立）．令$x=\frac{n}{n+1}$（n∈N^*且n≥3），則$ln\frac{n+1}{n}＜\frac{1}{n}$，即$ln（{n+1}）-lnn＜\frac{1}{n}$，利用疊加法，即可證明結(jié)論．

解答 （I）解：當a=1時，$f（x）=1-\frac{1}{x}+ln\frac{1}{x}$，定義域為（0，+∞）．
令$f'（x）=\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x}=\frac{1-x}{x^2}=0$，則x=1．…（2分）
則當0＜x＜1時f'（x）＞0，當x＞1時f'（x）＜0，
故f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，1），單調(diào)遞減區(qū)間為（1，+∞）．…（4分）
（II）解：令$f'（x）=\frac{a}{x^2}-\frac{1}{x}=\frac{a-x}{x^2}$…（5分）
若a≤0，則在區(qū)間（0，3）上f'（x）＜0恒成立，則f（x）在區(qū)間（0，3）上無極值；…（6分）
若a＞0，令 f'（x）=0，則x=a．
當x變化時，f（x），f'（x）的變化情況如下表：

x	（0，a）	a	（a，+∞）
f'（x）	+	0	-
f（x）	↗		↘

故f（x）在x=a處取得極大值．要使f（x）在區(qū)間（0，3）上無極值，則a≥3．…（8分）
綜上所述，a的取值范圍是（-∞，0]∪[3，+∞）．…（9分）
（III）證明：由（II）知，當a=1時，$f（x）=1-\frac{1}{x}+ln\frac{1}{x}$在x=1處取得最大值0，…（10分）
即$f（x）=1-\frac{1}{x}+ln\frac{1}{x}≤0$，∴$ln\frac{1}{x}≤\frac{1}{x}-1$（當x=1時等號成立）．
令$x=\frac{n}{n+1}$（n∈N^*且n≥3），則$ln\frac{n+1}{n}＜\frac{1}{n}$，即$ln（{n+1}）-lnn＜\frac{1}{n}$…（12分）
∴$ln\frac{n+1}{3}=ln（{n+1}）-ln3=[{ln（{n+1}）-lnn}]+[{lnn-ln（{n-1}）}]+…+[{ln4-ln3}]$
$＜\frac{1}{n}+\frac{1}{n-1}+\frac{1}{n-2}+…+\frac{1}{3}$，
故$ln\frac{n+1}{3}＜\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+…+\frac{1}{n}$．…（14分）

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的極值，考查不等式的證明，考查學(xué)生分析解決問題的能力，有難度．