Question

如圖，在直線三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，AB=AC=1，∠BAC=90°，異面直線A₁B與B₁C₁所成的角為60°．

（Ⅰ）求證：AC⊥A₁B；

（Ⅱ）設D是BB₁的中點，求DC₁與平面A₁BC₁所成角的正弦值．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）本題關鍵是證明平面（Ⅱ）

【解析】

試題分析：解:(Ⅰ)三棱柱是直三棱柱,

平面,.

又,平面

平面,

平面,從而.                 

(Ⅱ)如圖,以點為原點,為軸正方向,線段長度為單位長度,建立空間直角坐標系.

設,則,,,

則

由于直線與所成的角為,

所以,.           

,,設平面的法向量,

,可取.,.     

于是,

所以與平面所成角的正弦值為.

考點：直線與平面垂直的判定定理；直線與平面所成的角

點評：在立體幾何中，�？嫉亩ɡ硎牵褐本�與平面垂直的判定定理、直線與平面平行的判定定理。當然，此類題目也經常要我們求出幾何體的體積和表面積。