Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，AD∥BC，∠ABC=90°，PA=PB=3，BC=1，AB=2，AD=3，O是AB中點(diǎn)．
（Ⅰ）證明CD⊥平面POC；
（Ⅱ）求二面角C-PD-O的平面角的余弦值．
（Ⅲ）在側(cè)棱PC上是否存在點(diǎn)M，使得BM∥平面POD，若存在試求出

CM

PC

，若不存往，清說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（I）過(guò)C點(diǎn)作CE⊥AD于E，△OCD中算出OC=

2

、CD=2

2

且OD=

10

，由勾股定理的逆定理證出OC⊥CD．利用面面垂直的性質(zhì)與線面垂直的性質(zhì)，證出PO⊥CD，結(jié)合線面垂直判定定理即可證出CD⊥平面POC；
（II）設(shè)CD的中點(diǎn)為F，連結(jié)OF，分別以O(shè)B、OF、OP為x軸、y軸、z軸，建立直角坐標(biāo)系O-xyz．可得C、D、P、O各點(diǎn)的坐標(biāo)，從而可得

OP

、

OD

的坐標(biāo)，利用垂直向量數(shù)量積為0的方法建立方程組，解出

m

=（3，1，0）為平面P0D的一個(gè)法向量
，同理求出平面PCD的一個(gè)法向量為

n

=（

2

，

2

，1）．利用空間向量夾角公式算出

m

、

n

夾角的余弦值為

4

5

，即可得到二面角C-PD-O的平面角的余弦值；
（III）設(shè)側(cè)棱PC上存在點(diǎn)M且

CM

PC

=λ，使得BM∥平面POD．算出向量

BM

=（-λ，-λ+1，2

2

λ），根據(jù)平面的平行向量與其法向量互相垂直，得到

BM

•

m

=0，解出λ=

1

4

，由此即可得到在側(cè)棱PC上存在點(diǎn)M，當(dāng)

CM

PC

=

1

4

時(shí)滿足BM∥平面POD．

解答：解：（I）平面ABCD內(nèi)，過(guò)C點(diǎn)作CE⊥AD于E
∵直角梯形ABCD中，AD∥BC，BC=1，AB=2，AD=3，∴AE=1，CE=2
Rt△CDE中，DE=2，可得CD=

CE2+DE2

=2

2

∵Rt△BOC中，BO=

1

2

AB=1，BC=1，∴OC=

BO2+BC2

=

2

同理，得OD=

AO2+AD2

=

10

∴OD²=10=OC²+CD²，可得△OCD是以CD為斜邊的直角三角形，
∴OC⊥CD
∵PA=PB，O是AB中點(diǎn)，∴PO⊥AB，
∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，PO?平面PAB，
∴PO⊥平面ABCD，結(jié)合CD?平面ABCD，得PO⊥CD
∵PO、OC是平面POC內(nèi)的相交直線，∴CD⊥平面POC；
（II）設(shè)CD的中點(diǎn)為F，連結(jié)OF，則直線OB、OF、OP兩兩互相垂直，
分別以O(shè)B、OF、OP為x軸、y軸、z軸，建立直角坐標(biāo)系O-xyz，如圖所示
則C（1，1，0），D（-1，3，0），P（0，0，2

2

），
可得

OP

=（0，0，2

2

），

OD

=（-1，3，0），
設(shè)

m

=（x，y，z）為平面P0D的一個(gè)法向量，則

m • OP =2 2 z=0 m • OD =-x+3y=0

，
取y=1，得x=3且z=0，得

m

=（3，1，0）
同理求出平面PCD的一個(gè)法向量為

n

=（

2

，

2

，1）
∵cos＜

m

，

n

＞=

m • n

|m| • |n|

=

3× 2 +1× 2 +0×1

10 • 5

=

4

5

∴二面角C-PD-O的平面角的余弦值等于

4

5

；
（III）設(shè)側(cè)棱PC上存在點(diǎn)M，使得BM∥平面POD，此時(shí)

CM

PC

=λ，則
∵

PC

=（1，1，-2

2

），

BC

=（0，1，0）
∴

CM

=λ

CP

=（-λ，-λ，2

2

λ），可得

BM

=

BC

+

CM

=（-λ，-λ+1，2

2

λ），
∵BM∥平面POD，

m

=（3，1，0）為平面P0D的一個(gè)法向量
∴

BM

•

m

=-3λ-λ+1=0，解之得λ=

1

4

因此，側(cè)棱PC上存在點(diǎn)M，當(dāng)

CM

PC

=

1

4

時(shí)滿足BM∥平面POD．

點(diǎn)評(píng)：本題給出特殊的四棱錐，求證線面垂直、求二面角的余弦值并探索線面垂直的存在性．著重考查了面面垂直的性質(zhì)、線面垂直的判定與性質(zhì)和利用空間向量研究面面角、線面平行等知識(shí)，屬于中檔題．