Question

已知直線l與函數(shù)f（x）=lnx的圖象相切于點(diǎn)（1，0），且l與函數(shù)g(x)=

1

2

x2+mx+

7

2

(m＜0)的圖象也相切．
（I）求直線l的方程及m的值；
（Ⅱ）若h（x）=f（x+1）-g'（x），求函數(shù)h（x）的最大值．

Answer 1

分析：（I）求出直線的l的斜率，然后根據(jù)點(diǎn)斜式寫(xiě)出直線l的方程，在聯(lián)立方程直線l與函的圖象也相切g(x)=

1

2

x2+mx+

7

2

，根據(jù)△=0，求出m的值；
（Ⅱ）根據(jù)（I）可得h（x）=f（x+1）-g'（x），對(duì)其求導(dǎo)，令h′（x）=0，先求出極值，然后再求最值．

解答：解：（I）∵直線l與函數(shù)f（x）=lnx的圖象相切于點(diǎn)（1，0），
∴f′（x）=

1

x

，∴f（x）|_x=1=1，及直線l的斜率為1，
∴直線l的直線為：y-0=1×（x-1），
∴直線l的方程為：x-y-1=0；
∵直線l與函數(shù)g(x)=

1

2

x2+mx+

7

2

(m＜0)的圖象也相切，
∴

1

2

x2+mx+

7

2

= x-1，整理方程得：x²+2（m-1）x+9=0，
∴△=4（m-1）²-4×9=0，
∴m=4或-2，
又∵m＜0，
∴m=-2；
（Ⅱ）若h（x）=f（x+1）-g'（x）=ln（x+1）-x+2，（x＞-1）
∴h′（x）=

1

x+1

-1=

-x

x+1

，
當(dāng)-1＜x＜0時(shí)，h′（x）＞0，h（x）為增函數(shù)；
當(dāng)x≥0時(shí)，h′（x）＜0，h（x）為減函數(shù)；
函數(shù)h（x）在x=0處取極大值，也是最大值，
h_max（x）=h（0）=2．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求某點(diǎn)的切線和利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，求解的關(guān)鍵是要正確求導(dǎo)，是一道基礎(chǔ)題．