Question

11．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³-2x²+3x（x∈R）的圖象為曲線C．
（1）求過曲線C上任意一點(diǎn)切線斜率的取值范圍；
（2）若在曲線C上存在兩條相互垂直的切線，求其中一條切線與曲線C的切點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）據(jù)切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值為曲線切線斜率，由二次函數(shù)的秋雨求法，求導(dǎo)函數(shù)的范圍也就是切線斜率范圍；
（2）互相垂直的切線斜率互為負(fù)倒數(shù)，由（1）求斜率范圍，據(jù)切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值為曲線切線斜率，解不等式，求切點(diǎn)橫坐標(biāo)范圍．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³-2x²+3x的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=x²-4x+3
=（x-2）²-1≥-1，
即過曲線C上任意一點(diǎn)的切線斜率的取值范圍是[-1，+∞）；
（2）設(shè)其中一條切線的斜率為k，另一條為-$\frac{1}{k}$，
由（1）可知，$\left\{\begin{array}{l}{k≥-1}\\{-\frac{1}{k}≥-1}\end{array}\right.$，
解得-1≤k＜0或k≥1，
由-1≤x²-4x+3＜0或x²-4x+3≥1，
即有1＜x＜3或x≥2+$\sqrt{2}$或x≤2-$\sqrt{2}$，
得：x∈（-∞，2-$\sqrt{2}$]∪（1，3）∪[2+$\sqrt{2}$，+∞）．

點(diǎn)評 本題考查切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值為曲線切線斜率，考查兩直線垂直的條件：斜率之積為-1，以及化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．