Question

若f（x）=sin（x+

π

3

），x∈[0，2π]，關(guān)于x的方程f（x）=m有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x₁，x₂，則x₁+x₂等于（　�。�

• A、

  π

  3

• B、

  π

  3

  或

  7π

  3

• C、

  7π

  3

• D、不確定

Answer 1

考點(diǎn)：正弦函數(shù)的圖象

專(zhuān)題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：利用換元法作出函數(shù)y=sint的圖象，根據(jù)圖象以及三角函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性即可得到結(jié)論．

解答： 解：∵x∈[0，2π]，∴x+

π

3

∈[

π

3

，

7π

3

]，
設(shè)t=x+

π

3

，則函數(shù)等價(jià)為y=sint，t∈[

π

3

，

7π

3

]，
要使關(guān)于x的方程f（x）=m有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
則等價(jià)為sint=m，有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
則

3

2

-1＜m＜1且m≠

3

2

，且t₁，t₂，關(guān)于t=

π

2

和

3π

2

對(duì)稱(chēng)，
則t₁=x₁+

π

3

，t₂=x₂+

π

3

，
則t₁+t₂=2×

π

2

=π和t₁+t₂=2×

3π

2

=3π，
即x₁+

π

3

+x₂+

π

3

=π和x₁+

π

3

+x₂+

π

3

=3π，
解得x₁+x₂=

π

3

，x₁+x₂=

7π

3

，
故選：B

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用換元法結(jié)合三角函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性是解決本題的關(guān)鍵．