【答案】
分析:(Ⅰ)根據(jù)直線(xiàn)l與函數(shù)f(x)的圖象切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1,得到切點(diǎn)P(1,0),再求出斜率k=f′(1),用點(diǎn)斜式方程可求直線(xiàn)l的方程.再設(shè)直線(xiàn)l與函數(shù)y=g(x)圖象切點(diǎn)為Q(x
,x
-1),根據(jù)兩曲線(xiàn)的公共點(diǎn)和導(dǎo)數(shù)的幾何意義聯(lián)列方程組,解之可得m的值;
(Ⅱ)由(I)的結(jié)果,得h(x)=ln(x+1)-x+2,通過(guò)求導(dǎo)數(shù)、討論h′(x)的符號(hào),得到函數(shù)h(x)在區(qū)間(-1,0)上是增函數(shù),在區(qū)間(0,+∞)上是減函數(shù),從而得出函數(shù)h(x)的最大值是h(0)=2;
(III)先作差:[a+2af(a+b)]-[b+2af(2a)]=a-b+2aln(
),然后記a-b=t,(t>0),得a=b+t,將所得的差化為以b和t為單位的式子,再記
,F(xiàn)(s)=ln(1+s)-s,通過(guò)討論其單調(diào)性得ln(1+s)<s,最后將此不等式還原為以b和t為單位的式子,運(yùn)用不等式的性質(zhì)進(jìn)行放縮,可得a-b+2aln(
)<0,最終得到a+2af(a+b)<b+2af(2a).
解答:解:(Ⅰ)∵直線(xiàn)l與函數(shù)f(x)的圖象相切,且切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1.
∴切點(diǎn)坐標(biāo)為P(1,ln1),即P(1,0)
求得f′(x)=
,所以切線(xiàn)斜率為k=f′(1)=1
∴直線(xiàn)l的方程為y=x-1
又∵直線(xiàn)l與函數(shù)y=g(x)的圖象相切,設(shè)切點(diǎn)為Q(x
,x
-1)
∴
⇒m=-2或4
∵m<0∴x
=-2
故所求直線(xiàn)方程為y=x-1,m的值是-2
(Ⅱ)由(I)得g′(x)=x-2
∴h(x)=f(x+1)-g′(x)=ln(x+1)-x+2
求導(dǎo):h′(x)=
(x>-1)
當(dāng)x∈(-1,0)時(shí),h′(x)>0,函數(shù)h(x)是增函數(shù);
當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),h′(x)<0,函數(shù)h(x)是減函數(shù)
∴函數(shù)h(x)在x=0時(shí)有極大值,并且這個(gè)極大值是最大值
故函數(shù)h(x)的最大值為h(0)=2;
(Ⅲ)為了比較:a+2af(a+b)與b+2af(2a)的大小,進(jìn)行作差:
[a+2af(a+b)]-[b+2af(2a)]=a-b+2a[f(a+b)-f(2a)]=a-b+2aln(
)
∵0<b<a
∴設(shè)a-b=t,(t>0),得a=b+t
可得a-b+2aln(
)=t+2(b+t)ln[
]
再記
,(-1<s<0),
F(s)=ln(1+s)-s⇒F′(s)=
>0
∴F(s)在(-1,0)是增函數(shù),F(xiàn)(s)<F(0)=0
∴t+2(b+t)ln[
]<t+2(b+t)
=t-t=0
即a-b+2aln(
)<0
∴a+2af(a+b)<b+2af(2a)
點(diǎn)評(píng):本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線(xiàn)上某點(diǎn)切線(xiàn)方程、導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用以及不等式與函數(shù)相綜合等知識(shí)點(diǎn),屬于難題.解題時(shí)應(yīng)該注意轉(zhuǎn)化化歸思想與不等式放縮等技巧的運(yùn)用.