Question

已知正項(xiàng)等比數(shù)列{a_n}滿(mǎn)足S₈=17S₄，若存在兩項(xiàng)a_m，a_n使得

aman

=4a1，則

1

m

+

1

n

的最小值是（　　）

Answer 1

分析：先利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求出q的值，再利用不等式的基本性質(zhì)即可求出其最小值．

解答：解：經(jīng)驗(yàn)證q=1不成立，∴q＞0且q≠1．
∵S₈=17S₄，∴

a1(q8-1)

q-1

=

17a1(q4-1)

q-1

，化為q⁸-17q⁴+16=0，解得q⁴=1或16．
又q＞0且q≠1，∴q=2．
∵存在兩項(xiàng)a_m，a_n使得

aman

=4a1，∴

a1qm-1×a1qn-1

=4a₁，m+n=6．
∴

1

m

+

1

n

=

1

6

×(m+n)(

1

m

+

1

n

)=

1

6

×(2+

m

n

+

n

m

)≥

1

6

×(2+2

m n × n m

)=

2

3

，當(dāng)且僅當(dāng)

m

n

=

n

m

，即m=n時(shí)取等號(hào)．
則

1

m

+

1

n

的最小值是

2

3

．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式及不等式的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．