Question

11．如圖所示，一輛汽車從O點出發(fā)沿一條直線公路以50千米/時的速度勻速行駛（圖中的箭頭方向為汽車行駛方向），汽車開動的同時，在距汽車出發(fā)點O點的距離為5千米、距離公路線的垂直距離為3千米的M點的地方有一個人騎摩托車出發(fā)想把一件東西送給汽車司機，問騎摩托車的人至少以多大的速度勻速行駛才能實現(xiàn)他的愿望，此時他駕駛摩托車行駛了多少千米？

Answer 1

分析 設在A處追上汽車，速度為v，時間為t，用余弦定理表示出AM，得出v關于t的函數(shù)，得出v的最小值及其成立的條件．

解答 解：過M作公路的垂線MN，垂足為N，OM=5，MN=3，
∴sin∠MON=$\frac{MN}{OM}$=$\frac{3}{5}$，cos∠MON=$\frac{4}{5}$，ON=4．
設騎摩托車的人的速度為v公里/小時，經(jīng)過t小時后在A處追上汽車，則OA=50t，
在△MOA中，由余弦定理得AM²=25+2500t²-2×$5×50t×\frac{4}{5}$
=2500t²-400t+25，
又AM=vt，
∴v²t²=2500t²-400t+25，即v²=$\frac{25}{{t}^{2}}$-$\frac{400}{t}$+2500=25（$\frac{1}{t}$-8）²+900≥900，
∴當t=$\frac{1}{8}$時，V取得最小值30，此時，AM=vt=$\frac{15}{4}$．
故騎摩托車的人至少以30公里/時的速度行駛才能實現(xiàn)他的愿望，他駕駛摩托車行駛了$\frac{15}{4}$公里．

點評 本題主要考查二次函數(shù)的性質，余弦定理的應用，屬于中檔題．