精英家教網(wǎng)如圖，已知四棱錐S-ABCD的底面ABCD是矩形，M、N分別是CD、SC的中點，SA⊥底面ABCD，SA=AD=1，AB=
2
．
（I）求證：MN⊥平面ABN；
（II）求二面角A-BN-C的余弦值．
分析：（Ⅰ）建立空間直角坐標系，求出向量
MN
，
AB
，
AN
，計算
MN
•
AB
═0，
MN
•
AN
═0．從而證明∴
MN
⊥
AB
，
MN
⊥
AN
.
即可證明MN⊥平面ABN；
（II）求平面NBC的法向量，平面ABN的法向量，利用向量的數(shù)量積求得二面角A-BN-C的余弦值．
解答：精英家教網(wǎng)（I）證明：以A點為原點，AB為x軸，AD為y軸，AZ為z軸的空間直角坐標系，
如圖所示．則依題意可知相關各點的坐標分別是：A（0，0，0），B（
2
，0，0），
C（
2
，1，0），D（0，1，0），S（0，0，1），
∴M(
2
2
，1，0)，N(
2
2
，
1
2
，
1
2
).（2分）
∴
MN
=(0，-
1
2
，
1
2
)，
AB
=(
2
，0，0)，
AN
=(
2
2
，
1
2
，
1
2
).（4分）

∴
MN
•
AB
═0，
MN
•
AN
═0．∴
MN
⊥
AB
，
MN
⊥
AN
.
∴MN⊥平面ABN．（7分）
（II）解：設平面NBC的法向量
n
=(a，b，c)，則
n
⊥
BC
，
n
⊥
SC
.
且又易知
BC
=(0，1，0)，
SC
=(
2
，1，-1)
∴
n
•
BC
=0
n
•
SC
=0
即
b=0
2
a+b-c=0.
∴
b=0
c=
2
a.

令a=1，則
n
=(1，0，
2
).（11分）
顯然，
MN
=(0，-
1
2
，
1
2
)就是平面ABN的法向量．
∴cos＜
n
，
MN
＞=
n
•
MN
|
n
|•|
MN
|
═
3
3
.
由圖形知，二面角A-BN-C是鈍角二面角（12分）
∴二面角A-BN-C的余弦值是-
3
3
．（14分）
點評：本題考查向量法證明直線與平面的垂直，二面角的求法，考查學生計算能力，邏輯思維能力，是中檔題．
練習冊系列答案
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如圖，已知四棱錐S-ABCD的底面ABCD是邊長為1的正方形，SA⊥平面ABCD，SA=2，E是側(cè)棱SC上的一點．
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（Ⅰ）求證：平面SOB⊥底面ABCD；
（Ⅱ）設Q是棱SA上的一點，若
AQ
=
3
4
AS
，求平面BPQ與底面ABCD所成的銳二面角余弦值的大小．

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如圖，已知四棱錐S-A BCD是由直角梯形沿著CD折疊而成，其中SD=DA=AB=BC=l，AS∥BC，AB⊥AD，且二面角S-CD-A的大小為120°．
（Ⅰ）求證：平面ASD⊥平面ABCD；
（Ⅱ）設側(cè)棱SC和底面ABCD所成角為θ，求θ的正弦值．

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（2008•湖北模擬）如圖，已知四棱錐S-ABCD中，△SAD是邊長為a的正三角形，平面SAD⊥平面ABCD，四邊形ABCD為菱形，∠DAB=60°，P為AD的中點，Q為SB的中點．
（Ⅰ）求證：PQ∥平面SCD；
（Ⅱ）求二面角B-PC-Q的大小．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2010•江西模擬）（如圖）已知四棱錐S-ABCD的底面ABCD是菱形，將面SAB，SAD，ABCD 展開成平面后的圖形恰好為一正三角形S'SC．
（1）求證：在四棱錐S-ABCD中AB⊥SD．
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