Question

15．已知F₁，F(xiàn)₂分別是雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的兩個焦點，若在雙曲線上存在點P滿足2|$\overrightarrow{P{F}_{1}}+\overrightarrow{P{F}_{2}}$|≤|$\overrightarrow{{F}_{1}{F}_{2}}$|，則雙曲線C的離心率的取值范圍是（　�。�

• A． （1，$\sqrt{2}$]
• B． （1，2]
• C． [$\sqrt{2}$，+∞）
• D． [2，+∞）

Answer 1

分析 運用向量的中點表示，可得$\overrightarrow{PO}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{P{F}_{1}}$+$\overrightarrow{P{F}_{2}}$），結(jié)合雙曲線的范圍，可得2c≥4a，再由離心率公式，即可得到所求范圍．

解答 解：由OP為△PF₁F₂的邊F₁F₂的中線，可得
$\overrightarrow{PO}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{P{F}_{1}}$+$\overrightarrow{P{F}_{2}}$），
由在雙曲線上存在點P滿足2|$\overrightarrow{P{F}_{1}}+\overrightarrow{P{F}_{2}}$|≤|$\overrightarrow{{F}_{1}{F}_{2}}$|，
可得4|$\overrightarrow{PO}$|≤2c，
由|$\overrightarrow{PO}$|≥a，可得2c≥4a，
即c≥2a，則e=$\frac{c}{a}$≥2．
故選：D．

點評 本題考查雙曲線的離心率的范圍，注意運用中點的向量表示，以及雙曲線的范圍，考查運算能力，屬于中檔題．