Question

（2013•東城區(qū)二模）已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率e=

3

2

，原點到過點A（a，0），B（0，b）的直線的距離是

4 5

5

．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若橢圓C上一動點P（x₀，y₀）關于直線y=2x的對稱點為P₁（x₁，y₁），求x₁²+y₁²的取值范圍．
（3）如果直線y=kx+1（k≠0）交橢圓C于不同的兩點E，F(xiàn)，且E，F(xiàn)都在以B為圓心的圓上，求k的值．

Answer 1

分析：（1）利用橢圓的離心率e=

c

a

，a²=b²+c²，及其點到直線的距離公式即可得到a，b；
（2）利用軸對稱即可得到點P（x₀，y₀）與其對稱點P₁（x₁，y₁）的坐標之間的關系，再利用點P（x₀，y₀）滿足橢圓C的方程：

x2

16

+

y2

4

=1得到關系式，進而即可求出；
（3）設E（x₂，y₂），F(xiàn)（x₃，y₃），EF的中點是M（x_M，y_M），則BM⊥EF得到關系式，把直線EF的方程與橢圓的方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關系即可．

解答：解：（1）∵e=

c

a

=

3

2

，a²=b²+c²，
∴a=2b．
∵原點到直線AB：

x

a

-

y

b

=1的距離d=

ab

a2+b2

=

4 5

5

，
解得a=4，b=2．
故所求橢圓C的方程為

x2

16

+

y2

4

=1．
（2）∵點P（x₀，y₀）關于直線y=2x的對稱點為點P₁（x₁，y₁），
∴

y0-y1 x0-x1 ×2=-1 y0+y1 2 =2× x0+x1 2

解得 x1=

4y0-3x0

5

，y1=

3y0+4x0

5

．
∴

x

2 1

+

y

2 1

=

x

2 0

+

y

2 0

．
∵點P（x₀，y₀）在橢圓C：

x2

16

+

y2

4

=1上，
∴

x

2 1

+

y

2 1

=

x

2 0

+

y

2 0

=4+

3

4

x

2 0

．
∵-4≤x₀≤4，∴4≤

x

2 1

+

y

2 1

≤16．
∴

x

2 1

+

y

2 1

的取值范圍為[4，16]．
（3）由題意

y=kx+1 x2+4y2=16

消去y，整理得（1+4k²）x²+8kx-12=0．
可知△＞0．
設E（x₂，y₂），F(xiàn)（x₃，y₃），EF的中點是M（x_M，y_M），
則x2+x3=-

8k

1+4k2

，
則xM=

x2+x3

2

=-

4k

1+4k2

，y_M=kx_M+1=

1

1+4k2

．
∴kBM=

yM+2

xM

=-

1

k

．
∴x_M+ky_M+2k=0．
即

-4k

1+4k2

+

k

1+4k2

+2k=0．
又∵k≠0，
∴k2=

1

8

．
∴k=±

2

4

．

點評：本題綜合考查了橢圓的標準方程及其性質、點到直線的距離公式、直線與橢圓相交問題轉化為方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關系、相互垂直的直線斜率之間的關系、中點坐標公式等知識與方法，熟悉解題模式是解題的關鍵．