Question

已知AB是雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1過左焦點F₁的任意一條弦，以AB為直徑的圓被左準線截得圓弧CD，求證：CD所對的圓心角的度數(shù)為定值．

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質(zhì)

專題：證明題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)F₁（c，0），求出雙曲線的左準線方程，討論當AB斜率不存在時，當AB斜率存在時，求出直線方程，圓心到直線的距離，以及圓的半徑，求出CD所對的圓心角的一半的余弦值，且為

1

e

，再由二倍角的余弦公式即可得到定值．

解答： 證明：設(shè)F₁（c，0），
當AB斜率不存在時，則有AB：x=-c，
圓心為（-c，0），且到左準線x=-

a2

c

的距離為d=c-

a2

c

=

b2

c

，
將x=-c代入雙曲線方程可得y=±

b2

a

，
則圓的半徑為r=

b2

a

，cos∠CF₁O=

d

r

=

a

c

=

1

e

，
則cos∠CF₁D=cos2∠CF₁O=

2

e2

-1，
當AB的斜率存在時，設(shè)AB：y=k（x+c），
代入雙曲線方程可得（b²-a²k²）x²-2ca²k²x-a²c²k²-a²b²=0，
x₁+x₂=

2ca2k2

b2-a2k2

，
則圓心M到左準線的距離為d'=-

a2

c

-

ca2k2

b2-a2k2

=

a2b2(1+k2)

c(a2k2-b2)

，
直徑AB=AF₁+BF₁=e（-

a2

c

-x₁）+e（-

a2

c

-x₂）=-2a-e（x₁+x₂）
=-2a-

c

a

•

2ca2k2

b2-a2k2

=

2a2b2(1+k2)

a(a2k2-b2)

，
半徑r'=

a2b2(1+k2)

a(a2k2-b2)

，
則有cos∠CMO=

d′

r′

=

a

c

，即有cos2∠CMO=

2

e2

-1，
cos∠CMD=

2

e2

-1，
綜上可得，CD所對的圓心角的度數(shù)為定值，
且為arccos（

2

e2

-1）．

點評：本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，考查直線方程和雙曲線方程聯(lián)立，消去未知數(shù)，運用韋達定理，考查直線和圓的位置關(guān)系以及圓心到直線的距離，考查運算能力，屬于中檔題和易錯題．