解:(I)由
得x
2+(2b-4)x+b
2=0
直線y=x+b是拋物線C
2:y
2=4x的一條切線.
所以△=0?b=1
所以橢圓
(5分)
(Ⅱ)當(dāng)直線l與x軸平行時(shí),以AB為直徑的圓方程為
當(dāng)直線l與y軸重合時(shí),以AB為直徑的圓方程為x
2+y
2=1
所以兩圓的切點(diǎn)為點(diǎn)(0,1)(8分)
所求的點(diǎn)T為點(diǎn)(0,1),證明如下.
當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí),以AB為直徑的圓過(guò)點(diǎn)(0,1)
當(dāng)直線l與x軸不垂直時(shí),可設(shè)直線l為:
由
得(18k
2+9)x
2-12kx-16=0
設(shè)A(x
1,y
1),B(x
2,y
2)則
所以
,即以AB為直徑的圓過(guò)點(diǎn)(0,1)
所以存在一個(gè)定點(diǎn)T,使得以AB為直徑的圓恒過(guò)定點(diǎn)T(13分)
分析:(I)先跟據(jù)直線y=x+b是拋物線C
2:y
2=4x的一條切線,求出b的值,再由橢圓離心率為
,求出a的值,則橢圓方程可得.
(Ⅱ)先假設(shè)存在一個(gè)定點(diǎn)T,使得以AB為直徑的圓恒過(guò)定點(diǎn),再用垂直時(shí),向量
,
的數(shù)量積為0,得到關(guān)于直線斜率k的方程,求k,若能求出,則存在,若求不出,則不存在.
點(diǎn)評(píng):本題考查了橢圓,拋物線與直線的綜合運(yùn)用,另外,還結(jié)合了向量知識(shí),綜合性強(qiáng),須認(rèn)真分析.