【題目】設(shè)函數(shù)f(x)= (a∈R)
(1)若f(x)在x=0處取得極值,確定a的值,并求此時(shí)曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程;
(2)若f(x)在[3,+∞)上為減函數(shù),求a的取值范圍.

【答案】
(1)解:f′(x)= = ,

∵f(x)在x=0處取得極值,∴f′(0)=0,解得a=0.

當(dāng)a=0時(shí),f(x)= ,f′(x)=

∴f(1)= ,f′(1)=

∴曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程為 ,化為:3x﹣ey=0;


(2)解法一:由(1)可得:f′(x)= ,令g(x)=﹣3x2+(6﹣a)x+a,

由g(x)=0,解得x1= ,x2=

當(dāng)x<x1時(shí),g(x)<0,即f′(x)<0,此時(shí)函數(shù)f(x)為減函數(shù);

當(dāng)x1<x<x2時(shí),g(x)>0,即f′(x)>0,此時(shí)函數(shù)f(x)為增函數(shù);

當(dāng)x>x2時(shí),g(x)<0,即f′(x)<0,此時(shí)函數(shù)f(x)為減函數(shù).

由f(x)在[3,+∞)上為減函數(shù),可知:x2= ≤3,解得a≥﹣

因此a的取值范圍為:

解法二:由f(x)在[3,+∞)上為減函數(shù),∴f′(x)≤0,

可得a≥ ,在[3,+∞)上恒成立.

令u(x)= ,u′(x)= <0,

∴u(x)在[3,+∞)上單調(diào)遞減,

∴a≥u(3)=﹣

因此a的取值范圍為:


【解析】(1)f′(x)= ,由f(x)在x=0處取得極值,可得f′(0)=0,解得a.可得f(1),f′(1),即可得出曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程;(2)解法一:由(1)可得:f′(x)= ,令g(x)=﹣3x2+(6﹣a)x+a,由g(x)=0,解得x1= ,x2= .對(duì)x分類討論:當(dāng)x<x1時(shí);當(dāng)x1<x<x2時(shí);當(dāng)x>x2時(shí).由f(x)在[3,+∞)上為減函數(shù),可知:x2= ≤3,解得即可.解法二:“分離參數(shù)法”:由f(x)在[3,+∞)上為減函數(shù),可得f′(x)≤0,可得a≥ ,在[3,+∞)上恒成立.令u(x)= ,利用導(dǎo)數(shù)研究其最大值即可.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn),需要掌握求函數(shù)的極值的方法是:(1)如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值(2)如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值才能正確解答此題.

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平均數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差; 平均數(shù)且標(biāo)準(zhǔn)差;

平均數(shù)且極差小于或等于2眾數(shù)等于1且極差小于或等于4。

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