Question

在橢圓內(nèi)有一點(diǎn)P（1，-1），F(xiàn)為橢圓右焦點(diǎn)，在橢圓上有一點(diǎn)M，使|MP|+2|MF|的值最小，則M的坐標(biāo)    ．

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)橢圓的方程求得橢圓離心率為e=，右準(zhǔn)線方程：x=4．作出橢圓的右準(zhǔn)線l，過(guò)M點(diǎn)作MN⊥l于N，根據(jù)圓錐曲線的統(tǒng)一定義，得，所以2|MF|=|MN|，欲求|MP|+2|MF|的最小值，即求|MP|+|MN|的最小值．作PN⊥l于N，交橢圓于M，由平幾知識(shí)可得，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)M在橢圓上運(yùn)動(dòng)，與點(diǎn)M重合時(shí)，|MP|+|MN|取到最小值．最后設(shè)出點(diǎn)M的坐標(biāo)，代入橢圓方程，解之即可得到使|MP|+2|MF|的值最小的點(diǎn)M的坐標(biāo)．
解答：解：∵橢圓方程為，
∴a²=4，b²=3，可得
所以橢圓的離心率e=，右準(zhǔn)線方程：x=
作出橢圓的右準(zhǔn)線l如圖，過(guò)M點(diǎn)作MN⊥l于N，
根據(jù)圓錐曲線的統(tǒng)一定義，得，
∴2|MF|=|MN|，所以|MP|+2|MF|=|MP|+|MN|．
欲求|MP|+2|MF|的最小值，即求|MP|+|MN|的最小值，
過(guò)P（1，-1）作PN⊥l于N，交橢圓于M，由平面幾何知識(shí)可得，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)M在橢圓上運(yùn)動(dòng)，與點(diǎn)M重合時(shí)，|MP|+2|MF|取到最小值．
設(shè)M（x，-1），代入橢圓方程得，解之得x=（舍負(fù)）
∴使|MP|+2|MF|的值最小的點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，-1）．
故答案為：（，-1）．
點(diǎn)評(píng)：本題以橢圓中求距離和的最小值的問(wèn)題為載體，著重考查了橢圓的基本概念和圓錐曲線的統(tǒng)一定義等知識(shí)點(diǎn)，屬于中檔題．