如圖，四面體ABCD中，O、E分別是BD、BC的中點，

(1) 求證：平面BCD；

(2) 求異面直線AB與CD所成角余弦的大��；

(3) 求點E到平面ACD的距離．


解：(1) 證明：連結(jié)OC，

　　　

　　　　 ………… 1分

　　　 ，． ……… 2分

　　　 在中，

由已知可得 …………3分

而， ∴ ……… 4分　　　　 ∴即 ………………… 5分

　　　 ∴平面． …………… 6分

　　　 (2) 解：以O為原點，如圖建立空間直角坐標系，則

∴，……………　 9分

　　　 ∴ 異面直線AB與CD所成角余弦的大小為．……　 10分

　　　 (3) 解：設平面ACD的法向量為則

　　　 ，∴ ，

令得是平面ACD的一個法向量．

　　　 又　 ∴點E到平面ACD的距離 ．………　 14分

(3) （法二）解：設點E到平面ACD的距離為．

　 　 ，

∴ …………………………12分

　 　　 在中，,

　 　 ∴,

而，．

　　　 　 ∴，

∴點E到平面ACD的距離為…………… 14分

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，四面體ABCD中，O是BD的中點，△ABD和△BCD均為等邊三角形，
AB=2，AC=
6
．
（I）求證：AO⊥平面BCD；
（II）求二面角A-BC-D的大�。�
（III）求O點到平面ACD的距離．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，四面體ABCD中，O．E分別為BD．BC的中點，且CA=CB=CD=BD=2，AB=AD=
2
．
（1）求證：AO⊥平面BCD；
（2）求 異面直線AB與CD所成角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，四面體ABCD中，0是BD的中點，CA=CB=CD=BD=a，AB=AD=
2
2
a．
（1）求證：平面AOC⊥平面BCD；
（2）求二面角O-AC-D的余弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，四面體ABCD的各個面都是直角三角形，已知AB⊥BC，BC⊥CD，AB=a，BC=a，CD=c．
（1）若AC⊥CD，求證：AB⊥BD；
（2）求四面體ABCD的表面積．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，四面體ABCD中，O、E分別是BD、BC的中點，AO⊥平面BCD，CA=CB=CD=BD=2．
（1）求證：面ABD⊥面AOC；
（2）求異面直線AE與CD所成角的大小．

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