Question

（本小題滿分12分）

    已知定直線l:x=1和定點M(t,0)(t∈R),動點P到M的距離等于點P到直線l距離的2倍。

（1）求動點P的軌跡方程，并討論它表示什么曲線；

（2）當(dāng)t=4時，設(shè)點P的軌跡為曲線C，過點M作傾斜角為θ(θ>0)的直線交曲線C于A、B兩點，直線l與x軸交于點N。若點N恰好落在以線段AB為直徑的圓上，求θ的值。

 

Answer 1

【答案】

解：（1）設(shè)P（x,y），則由題意得=2|x-1|,化簡得3x²-y²+2(t-4)x+4-t²=0

，………………………4分；

當(dāng)t=1時，化簡得 y=±(x-1),表示兩條直線；

 

 

當(dāng)t≠1時，表示焦點在x軸上的雙曲線�！�…………………6分；

 

（2）當(dāng)t=4時，C：,M(4,0),N(1,0).由題意知 NA⊥NB，

所以，         ……………………8分；

設(shè)A(x₁,y₁),B(x_2,y₂),則當(dāng)AB與x軸垂直時，易得，不合題意；

當(dāng)AB與x軸不垂直時，設(shè)AB：y=k(x-4),代入雙曲線方程并整理得：   

        (3-k²)x²+8k²x-16k²-12=0,

由得(x₁-1)(x₂-2)+y₁y₂=0

所以  (k²+1)x₁x₂-(4k²+1)(x₁+x₂)+16k²+1=0,化簡整理得   k²=，所以k=±，……11分

    經(jīng)檢驗，均符合題意。

所以  ……………………………12分

 

【解析】略