【題目】已知函數(shù)，其中.

(Ⅰ)函數(shù)的圖象能否與軸相切？若能，求出實數(shù)，若不能，請說明理由；

(Ⅱ)求最大的整數(shù)，使得對任意，不等式恒成立.

【答案】(Ⅰ)答案見解析；(Ⅱ)3.

【解析】試題分析：

(Ⅰ)若能與軸相切，則存在，使得，能求出，說明存在，否則說明不存在；

(Ⅱ)把已知不等式變形為，由于，因此只要函數(shù)是增函數(shù)即可，由中得，這是必要條件，其中最大整數(shù)是3，因此下面只要證時，恒成立．為此可分類，時，，代入可證有，時，由可證，從而可得結(jié)論．

試題解析：

(Ⅰ)由于.

假設(shè)函數(shù)的圖象與軸相切于點，

則有，即.

顯然代入方程中得，.

∵，∴無解．故無論取何值，函數(shù)的圖象都不能與軸相切.

(Ⅱ)依題意，

恒成立.

設(shè)，則上式等價于，要使

對任意恒成立，即使在上單調(diào)遞增，

∴在上恒成立.

則，∴在上成立的必要條件是：.

下面證明：當(dāng)時，恒成立.

設(shè)，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，

∴，即.那么，

當(dāng)時，；

當(dāng)時，，∴恒成立.

因此，的最大整數(shù)值為 3.

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