Question

已知函數(shù)．
(1)當a=1時，求曲線在點(1，f(1))處的切線方程；
(2)當a>0時，若f(x)在區(qū)間[1，e]上的最小值為-2，求a的值；
(3)若對任意，且恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

（1）（2）.（3）.

試題分析：（1）當時，.
利用切線的斜率等于在切點處的導(dǎo)函數(shù)值，可得斜率得解.
（2）函數(shù)的定義域是. 根據(jù)當時、當、當時、當時等 幾種情況，“求導(dǎo)數(shù)，求駐點，討論區(qū)間單調(diào)性，確定函數(shù)的最值”，建立的方程.
（3）設(shè)，問題轉(zhuǎn)化成“只要在上單調(diào)遞增即可.”
當時，根據(jù)，知在上單調(diào)遞增；
當時，只需在上恒成立，問題轉(zhuǎn)化成“只要”.
（1）當時，.
因為.                           2分
所以切線方程是                         3分
（2）函數(shù)的定義域是.
當時， 
令，即，
所以或.                                 6分
當，即時，在［1，e]上單調(diào)遞增，
所以在［1，e]上的最小值是，解得；     7分
當時，在［1，e]上的最小值是，即令，，
，而，，不合題意；      9分
當時，在[1，e]上單調(diào)遞減，
所以在［1，e]上的最小值是，解得，不合題意
所以.
（3）設(shè)，則，
只要在上單調(diào)遞增即可.             11分
而
當時，，此時在上單調(diào)遞增；         12分
當時，只需在上恒成立，因為，只要，
則需要，                             13分
對于函數(shù)，過定點（0，1），對稱軸，只需，
即. 綜上.                    14分