Question

17．如圖所示，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面為直角三角形，∠ACB=90°，AC=3，BC=3，CC₁=$\sqrt{3}$，P是BC₁上一動點，則CP+PA₁的最小值是$\sqrt{21}$．

Answer 1

分析 本題考查圖形的展開，直線距離最��；連A₁B，沿BC₁將△CBC₁展開與△A₁BC₁在同一個平面內(nèi)，連A₁C，則A₁C的長度就是所求的最小值．

解答 解：連A₁B，沿BC₁將△CBC₁展開與△A₁BC₁在同一個平面內(nèi)，如圖所示，連A₁C，則A₁C的長度就是所求的最小值

A₁C₁=3，CC₁=$\sqrt{3}$，BC=3，A₁B=$\sqrt{21}$，△CBC₁是直角三角形，根據(jù)邊長關(guān)系可知∠CC₁B=60°
△A₁BC₁根據(jù)邊長關(guān)系可知∠A₁C₁B=90°
∴∠A₁C₁C=150°
利用余弦定理：$C{{C}_{1}}^{2}+{A}_{1}{{C}_{1}}^{2}-2$A₁C₁•CC₁•cos50°=${A}_{1}{C}^{2}$
∴A₁C=$\sqrt{21}$
故答案為$\sqrt{21}$．

點評 本題考查棱柱的結(jié)構(gòu)特征，圖形的展開，直線距離最�。贿BA₁B，沿BC₁將△CBC₁展開與△A₁BC₁在同一個平面內(nèi)，連A₁C，則A₁C的長度就是所求的最小值，同時利用到利用余弦定理．空間問題有時候是可以轉(zhuǎn)化成平面問題來解決的．屬于中檔題．