Question

已知函數(shù)，其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，．

（1）若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；

（2）若，求的單調(diào)區(qū)間；

（3）若，函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有3個(gè)不同的交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

（1）

（2）的單調(diào)遞減區(qū)間為，；   單調(diào)遞增區(qū)間為.

（3）

【解析】

試題分析：解：（1）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013060510080458301997/SYS201306051008562080913572_DA.files/image007.png">，

所以，       1分

所以曲線在點(diǎn)處的切線斜率為.    

又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013060510080458301997/SYS201306051008562080913572_DA.files/image012.png">，

所以所求切線方程為，即．   2分

（2），

①若，當(dāng)或時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，.

所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，；

單調(diào)遞增區(qū)間為.                           4分

②若，，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為.

③若，當(dāng)或時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，.

所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，；

單調(diào)遞增區(qū)間為.                         7分

（3）由（2）知，在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在處取得極小值，在處取得極大值.

由，得.

當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.  10分

所以在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

故在處取得極大值，在處取得極小值.

因?yàn)楹瘮?shù)與函數(shù)的圖象有3個(gè)不同的交點(diǎn)，

所以，即. 所以. 12分

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用

點(diǎn)評(píng)：主要是考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運(yùn)用，屬于中檔題。