Question

設(shè)x軸、y軸正方向上的單位向量分別是、，坐標(biāo)平面上點(diǎn)A_n、B_n（n∈N^*）分別滿足下列兩個(gè)條件：
①且=+；②且=．
（1）求及的坐標(biāo)；
（2）若四邊形A_nB_nB_n+1A_n+1的面積是a_n，求a_n（n∈N^*）的表達(dá)式；
（3）對(duì)于（2）中的a_n，是否存在最小的自然數(shù)M，對(duì)一切（n∈N^*）都有a_n＜M成立？若存在，求M；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）=．==．
（2）設(shè)A_nA_n+1的所在的直線交x軸于點(diǎn)p，則有

=．
（3）=．
∴a₁-a₂＜0，a₂-a₃＜0，a₃-a₄＜0．a(chǎn)₄-a₅=0，a₅-a₆＞0，a₆-a₇＞0，等等．
即在數(shù)列{a_n}中，是數(shù)列的最大項(xiàng)，所以存在最小的自然數(shù)M=6，對(duì)一切n∈N^*，都有a_n＜M成立．
分析：（1）利用向量加法的三角形法則的推廣，及已知條件①且=+；②且
=．得到及的坐標(biāo)；
（2）設(shè)A_nA_n+1的所在的直線交x軸于點(diǎn)p，結(jié)合圖形表示出四邊形A_nB_nB_n+1A_n+1的面積是a_n，
（3）求出，推廣對(duì)n的討論得到a₁-a₂＜0，a₂-a₃＜0，a₃-a₄＜0．a(chǎn)₄-a₅=0，a₅-a₆0，
a₆-a₇＞0，求出數(shù)列中最大值為，求出M．
點(diǎn)評(píng)：本題考查解決數(shù)列的問(wèn)題關(guān)鍵是求出數(shù)列的通項(xiàng)，根據(jù)通項(xiàng)的特點(diǎn)，選擇合適的方法來(lái)解決，在高考題中數(shù)列出現(xiàn)在解答題中，屬于難題．