Question

已知圓C：（x-3）²+（y-4）²=4和直線l：kx-y-4k+3=0
（1）求證：不論k取什么值，直線和圓總相交；
（2）求k取何值時，圓被直線截得的弦最短，并求最短弦的長．

Answer 1

分析：（1）由直線l的方程y-3=k（x-4）可得直線l恒通過定點（4，3），而點（4，3）在圓的內(nèi)部，故直線l與圓C總相交．
（2）先求出圓心到直線l的距離為d，設弦長為L，則(

L

2

)2+d2=r2，再根據(jù)L的解析式，利用基本不等式求得
L的最小值．

解答：解：（1）證明：由直線l的方程可得y-3=k（x-4），則直線l恒通過定點（4，3），把（4，3）代入圓C的方程，得（4-3）²+（3-4）²=2＜4，
所以點（4，3）在圓的內(nèi)部，所以直線l與圓C總相交．
（2）設圓心到直線l的距離為d，則 d=

|3k-4-4k+3|

k2+(-1)2

=

|k+1|

k2+1

，
又設弦長為L，則(

L

2

)2+d2=r2，即  (

L

2

)2=4-

(k+1)2

k2+1

=4-（1+

2k

k2+1

）=3-

2k

k2+1

≥2．
∴當k=1時，(

L

2

)2min=2，
∴L_min=2

2

，所以圓被直線截得最短的弦長為2

2

．

點評：本題主要考查直線過定點問題，直線和圓相交的性質(zhì)，點到直線的距離公式，弦長公式的應用，屬于中檔題．