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如圖，已知四棱錐P-ABCD，底面ABCD為矩形，側棱PA⊥平面ABCD，其中BC=2AB=2PA=6，M、N為側棱PC上的兩個三等分點．
①求證：AN∥平面MBD；
②求二面角M-BD-C的余弦值．
①證明：連接對角線AC交BD于點O，
∵底面ABCD是矩形，∴AO=OC．
又∵NM=MC=
1
3
PC，∴OM∥AN．
又∵AN?平面MBD，OM?平面MBD．
∴AN∥平面MBD；
②距離如圖所示的空間直角坐標系：∵BC=2AB=2PA=6，∴D（6，0，0），C（6，3，0），B（0，3，0），P（0，0，3）．
由M點為線段PC的三等分點，∴M（4，2，1）．
∴
DB
=(-6，3，0)，
DM
=(-2，2，1)．
設平面BMD的法向量
n
=(x，y，z)．
則
n
•
DB
=0
n
•
DM
=0
即
-6x+3y=0
-2x+2y+z=0
，令y=2，則x=1，z=
5
2
．
∴
n
=(1，2，
5
2
)．
∵PA⊥平面BCD，∴可取
AP
=（0，0，3）作為平面BCD的法向量．
∴cos＜
n
，
AP
＞=
n
•
AP
|
n
||
AP
|
=
3×
5
2
12+22+(
5
2
)2
32
=
5
3
．
∴二面角M-BD-C的余弦值為
5
3
．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源：不詳 題型：填空題

已知△ABC為直角三角形，且∠ACB=90°，AB=8，點P是平面ABC外一點，若PA=PB=PC，且PO⊥平面ABC，O為垂足，則OC=______．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：填空題

若一個球的半徑為1，A、B為球面上兩點，且|AB|=1，則A、B兩點的球面距離為______．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

在直三棱柱ADE-BCF中，∠ADE=90°，AD=AE=EF=2，M，N分別是AF，BC的中點．
（1）求證：MN∥平面CDEF；
（2）求多面體A-CDEF的體積V．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

如圖所示的長方體ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是邊長為2的正方形，O為AC與BD的交點，BB1=
2
，M是線段B1D1的中點．
（1）求證：BM∥平面D1AC；
（2）求三棱錐D1-AB1C的體積．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，且PA=AD，點M、N分別為側棱PD、PC的中點
（1）求證：CD∥平面AMN；
（2）求證：AM⊥平面PCD．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在四棱錐E-ABCD中，底面ABCD為矩形，平面ABCD⊥平面ABE，∠AEB=90°，BE=BC，F為CE的中點，求證：
（1）AE∥平面BDF；
（2）平面BDF⊥平面ACE．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：單選題

已知a，b為兩條直線，α，β為兩個平面，下列四個命題
①a∥b，a∥α⇒b∥α；②a⊥b，a⊥α⇒b∥α；
③a∥α，β∥α⇒a∥β；④a⊥α，β⊥α⇒a∥β，
其中不正確的有（　�。�
A．1個B．2個C．3個D．4個

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，△ABC為等腰直角三角形，且∠BAC=90°，且AB=AA1，D，E，F分別為B1A，C1C，BC的中點．
（Ⅰ）求證：DE∥平面ABC；
（Ⅱ）求證：B1F⊥平面AEF；
（Ⅲ）求二面角A-EB1-F的大小．

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