Question

設關于x的一元二次方程x²+2ax+b²=0．若a是從區(qū)間[0，3]任取一個數，b是從區(qū)間[0，2]任取一個數，上述方程有實根的概率是（　�。�

• A．

  1

  4

• B．

  1

  2

• C．

  3

  4

• D．

  2

  3

Answer 1

分析：如圖，試驗的所有基本事件所構成的區(qū)域為矩形OABC及其內部，利用一元二次方程根的判別式算出方程有實根的事件對應的區(qū)域為圖中的梯形OABD及其內部，求出兩個區(qū)域的面積并利用幾何概型公式，即可算出所求的概率．

解答：解：如圖，所有的基本事件對應集合Ω={（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2}，
構成的區(qū)域為如圖的矩形OABC及其內部，其面積為S=3×2=6；
設事件A=“方程x²+2ax+b²=0有實根”
∵△=（2a）²-4×1×b²≥0，結合a、b都是非負數，解得a≥b，
∴事件A對應的集合A={（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2，且a≥b}，
所構成的區(qū)域為矩形OABC及其內部，且在直線a=b的右下方部分，
即圖中的梯形OABD及其內部，其面積S'=

1

2

×（3+1）×2=4．
由于點（a，b）落在區(qū)域內的每一點是隨機的，
∴事件A發(fā)生的概率P（A）=

S‘

S

=

2

3

，即方程有實根的概率是

2

3

．
故選：D

點評：本題給出含有字母參數的一元二次方程，求方程有實數根的概率．著重考查了一元二次方程根的判別式、不等式表示的平面區(qū)域、面積公式和幾何概型計算公式等知識，屬于中檔題．