已知函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d(a，b，c，d∈R)，且函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，其圖象在x=3的切線方程為8x-y-18=0.

(Ⅰ)求f(x)的解析式；

(Ⅱ)是否存在區(qū)間[a，b]，使得函數(shù)g(x)的定義域和值域均為[a，b]，且解析式與f(x)的解析式相同？若存在，求出這樣的一個(gè)區(qū)間[a，b]；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

答案：解：(Ⅰ)由已知有f(x)是奇函數(shù)，所以b=d=0.

又在x=3的切線方程為8x-y-18=0，

所以切點(diǎn)為(3，6)，且f′(x)|x=3=8.

而f′(x)=3ax2+c，所以有

即得a=，c=-1.故f(x)=x3-x.

(Ⅱ)解方程組，得x1=0，x2=，x3=，且f()=，f()=.

又f′(x)=x2-1，令f′(x)=x2-1=0，得x=±1.

所以f′(x)在(-，-1)和(1，+∞)上都有f′(x)＞0，f′(x)在(-1，1)上f′(x)＜0，故f(x)在(-∞，-1)和(1，+∞)上都為增函數(shù)，在(-1，1)上為減函數(shù).

所以f(x)在x=1處有極小值，在x=-1處有極大值.

而極小值f(1)=＞=f()，

極大值f(-1)=＜=f()，

所以f(x)max=，f(x)min=.

所以f(x)在區(qū)間[，]上的值域?yàn)閇,].

綜合以上得：存在區(qū)間[a，b]=[,]符合要求.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=a-
12x+1
．
（1）求證：不論a為何實(shí)數(shù)f（x）總是為增函數(shù)；
（2）確定a的值，使f（x）為奇函數(shù)；
（3）當(dāng)f（x）為奇函數(shù)時(shí)，求f（x）的值域．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f(x)
a-x  ，x≤0
1  ，0＜x≤3
(x-5)2-a，x＞3
（a＞0且a≠1）圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)Q（8，6）．
（1）求a的值，并在直線坐標(biāo)系中畫出函數(shù)f（x）的大致圖象；
（2）求函數(shù)f（t）-9的零點(diǎn)；
（3）設(shè)q（t）=f（t+1）-f（t）（t∈R），求函數(shù)q（t）的單調(diào)遞增區(qū)間．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=a-
1
2x+1
，若f（x）為奇函數(shù)，則a=（　　）
A、
1
2
B、2
C、
1
3
D、3

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
a(x-1)x2
，其中a＞0．
（I）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（II）若直線x-y-1=0是曲線y=f（x）的切線，求實(shí)數(shù)a的值；
（III）設(shè)g（x）=xlnx-x2f（x），求g（x）在區(qū)間[1，e]上的最小值．（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=a-
12x-1
，（a∈R）
（1）求f（x）的定義域；
（2）若f（x）為奇函數(shù)，求a的值；
（3）考察f（x）在定義域上單調(diào)性的情況，并證明你的結(jié)論．

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