Question

設直線x+y=1與橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）相交于A，B兩點．
（1）若a=

6

3

，求b的范圍；
（2）若OA⊥OB，且橢圓上存在一點P其橫坐標為

2

2

，求點P的縱坐標；
（3）若OA⊥OB，且S_△OAB=

5

8

，求橢圓方程．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質

專題：計算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）將直線x+y=1代入橢圓方程，消去y，得到x的方程，運用判別式大于0，解出即可；
（2）將直線x+y=1代入橢圓方程，消去y，得到x的方程，運用韋達定理，以及兩直線垂直的條件，化簡整理，即可得到所求值；
（3）設直線x+y=1與坐標軸交于C、D，求出CD，再由面積，求得AB，再由弦長公式，求得a，b的方程，再由（2）的結論，即可得到橢圓方程．

解答： 解：（1）將直線x+y=1代入橢圓方程，
消去y，得（b²+a²）x²-2a²x+a²-a²b²=0，
x₁+x₂=

2a2

a2+b2

，x₁x₂=

a2-a2b2

a2+b2

，
因為直線與橢圓交于兩點，故△=4a⁴-4（b²+a²）（a²-a²b²）＞0，
代入a=

6

3

，解得b＞

3

3

，且a＞b，
所以b的范圍為(

3

3

，

6

3

)；
（2）將直線x+y=1代入橢圓方程，
可得：x1+x2=

2a2

a2+b2

，x1x2=

a2-a2b2

a2+b2

，
由OA⊥OB可得x₁x₂+y₁y₂=0，解得a²+b²=2a²b²
即

1

2a2

+

1

2b2

=1，代x₀=

2

2

到橢圓方程得

1

2a2

+

y 2 0

b2

=1，
即

y

2 0

=

1

2

，
所以點P的縱坐標為±

2

2

．
（3）設直線x+y=1與坐標軸交于C、D，則CD=

2

，S△COD=

1

2

，
又△AOB，△COD兩個三角形等高，故

AB

CD

=

S△AOB

S△COD

=

5

4

，
所以AB=

5 2

4

=

2

|x1-x2|，求得a2b2=

16

7

所以a2=4，b2=

4

7

，
所以橢圓方程為

x2

4

+

7y2

4

=1．

點評：本題考查橢圓方程及運用，考查聯(lián)立直線方程和橢圓方程，消去未知數(shù)，運用韋達定理和判別式大于0，以及弦長公式，考查運算能力，屬于中檔題．