Question

【題目】已知橢圓的長軸與短軸比值是2，橢圓C過點(diǎn).

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過點(diǎn)作圓x2+y2=1的切線交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，記△AOB（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積為S△AOB，將S△AOB表示為m的函數(shù)，并求S△AOB的最大值

Answer 1

【答案】（1）（2），m∈（-∞，-1]∪[1，+∞）；S△AOB的最大值為1

【解析】

(1) 由已知可知,及橢圓C過點(diǎn),代入橢圓方程即可求得,進(jìn)而得出結(jié)果.

(2) 由題設(shè)知切線的斜率存在,設(shè)切線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立求得弦長,由于與圓相切,可得=1,化簡(jiǎn)可得,利用基本不等式化簡(jiǎn)即可求得結(jié)果.

解：（1）∵橢圓的長軸與短軸比值是2，

∴，設(shè)橢圓C的方程為：，

∵橢圓C過點(diǎn)，

∴，∴，

∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（2）由題意知,.

由題設(shè)知切線的斜率存在，設(shè)切線的方程為，

由，得，

設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（x1，y1）（x2，y2），

則，

又∵與圓相切，

∴=1，，

∴=

=

=，

∴,

∴（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）

∴當(dāng)時(shí)，S△AOB的最大值為1.