如圖,已知三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱與底面垂直,AA1=AB=AC=1,AB⊥AC,M、N分別是CC1,BC的中點(diǎn),點(diǎn)P在線段A1B1上,且

(1)證明:無(wú)論取何值,總有AM⊥PN;

(2)當(dāng)時(shí),求直線PN與平面ABC所成角的正切值.

 


法一:(1)證明:在三棱柱中,

,而.故

                               ……………3分

設(shè)的中點(diǎn)、的中點(diǎn)。連接,.

,

,,,

故無(wú)論取何值,總有                        ……………6分

(2)由于設(shè)是

,故

法二  以A為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以軸建立空間直角坐標(biāo)系

則A1(0,0,1),

B1(1,0,1), M(0,1,),N(,0)

,,

C

 
             ……………4分

N

 
(1)∵,∴

∴無(wú)論取何值,         ……………6分

(2)時(shí),,            ……………8分

而面 設(shè)所成角,

,                  ……………10分 

所以直線與與平面所成角的正切值為.        ………………12分                                           

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,已知三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥底面ABC,AC=BC=2,AA1=4,AB=2
2
,M,N分別是棱CC1,AB中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:CN⊥平面ABB1A1
(Ⅱ)求證:CN∥平面AMB1;
(Ⅲ)求三棱錐B1-AMN的體積.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,已知三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱與底面垂直,AA1=AB=AC=1,且AB⊥AC,M是CC1的中點(diǎn),N是BC的中點(diǎn),點(diǎn)P在直線A1B1上,且滿足
A1P
A1B1

(1)證明:PN⊥AM;
(2)當(dāng)λ取何值時(shí),直線PN與平面ABC所成的角θ最大?并求該角最大值的正切值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,已知三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱與底面垂直,AA1=AB=AC=1,AB⊥AC,M,N分別是CC1,BC的中點(diǎn),點(diǎn)P在直線A1B1上,且
A1P
A1B1
;
(Ⅰ)證明:無(wú)論λ取何值,總有AM⊥PN;
(Ⅱ)當(dāng)λ取何值時(shí),直線PN與平面ABC所成的角θ最大?并求該角取最大值時(shí)的正切值;
(Ⅲ)是否存在點(diǎn)P,使得平面PMN與平面ABC所成的二面角為30°,若存在,試確定點(diǎn)P的位置,若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,已知三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長(zhǎng)均為2,且A1A⊥底面ABC,D為AB的中點(diǎn),G為△ABC1的重心,則|
CG
|的值為(  )

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,已知三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,AB=BC,∠ABC=90°,D為AC中點(diǎn).
(1)求證:BD⊥AC1
(2)若AB=
2
,AA1=2
3
,求AC1與平面ABC所成的角.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案