如圖,已知三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱與底面垂直,AA1=AB=AC=1,AB⊥AC,M、N分別是CC1,BC的中點(diǎn),點(diǎn)P在線段A1B1上,且
(1)證明:無(wú)論取何值,總有AM⊥PN;
(2)當(dāng)時(shí),求直線PN與平面ABC所成角的正切值.
法一:(1)證明:在三棱柱中,
,而.故
且 ……………3分
設(shè)為的中點(diǎn)、為的中點(diǎn)。連接,.
且,
,
又,,,
故無(wú)論取何值,總有 ……………6分
(2)由于設(shè)是
,故
法二 以A為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以為軸建立空間直角坐標(biāo)系
則A1(0,0,1),
B1(1,0,1), M(0,1,),N(,0)
,,
|
|
∴無(wú)論取何值, ……………6分
(2)時(shí),, ……………8分
而面 設(shè)為所成角,
則, ……………10分
所以直線與與平面所成角的正切值為. ………………12分
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