Question

設(shè)函數(shù)f（x）是定義在[-1，0）∪（0，1]上的奇函數(shù)，當(dāng)x∈[-1，0）時(shí)，f(x)=2ax+

1

x2

（a為實(shí)數(shù)）．
（Ⅰ）求當(dāng)x∈（0，1]時(shí)，f（x）的解析式；
（Ⅱ）若f（x）在（0，1]上是增函數(shù)，求a的取值范圍；
（Ⅲ）是否存在a，使得當(dāng)x∈（0，1]時(shí)，f（x）有最大值-6．

Answer 1

分析：（Ⅰ）當(dāng)x∈（0，1]時(shí)，-x∈[-1，0）.f(x)=-f(-x)=-(-2ax+

1

x2

)=2ax-

1

x2

．
（II）f′(x)=2a+

2

x3

，因?yàn)閒（x）在（0，1]上是增函數(shù)，所以a≥-

1

x3

在（0，1]上恒成立，令g(x)=-

1

x3

，x∈(0，1]，g（x）在（0，1]上是單調(diào)增函數(shù)，所以[g（x）]_max=g（1）=-1，由此能求出a的取值范圍．
（Ⅲ）當(dāng)a≥-1時(shí)，由f（x）在（0，1]上是增函數(shù)，知[f（x）]_max=f（1）=-6，解得a=-

5

2

，與a≥-1矛盾；當(dāng)a＜-1時(shí)，當(dāng)x∈(0，

3	- 1 a

 )時(shí)，f（x）是增函數(shù)，當(dāng)x∈(

3	- 1 a

，1 )時(shí)，f（x）是減函數(shù)．由此能導(dǎo)出存在a=-2

2

，使得當(dāng)x∈（0，1]時(shí)，f（x）有最大值-6．

解答：解：（Ⅰ）∵函數(shù)f（x）是定義在[-1，0）∪（0，1]上的奇函數(shù)，
當(dāng)x∈[-1，0）時(shí)，f(x)=2ax+

1

x2

（a為實(shí)數(shù)）．
∴當(dāng)x∈（0，1]時(shí)，-x∈[-1，0）．
f(x)=-f(-x)=-(-2ax+

1

x2

)=2ax-

1

x2

…（3分）
（II）∵x∈（0，1]時(shí)，f(x)=2ax- 

1

x2

，
∴f′(x)=2a+

2

x3

，
因?yàn)閒（x）在（0，1]上是增函數(shù)，
所以f'（x）≥0在（0，1]上恒成立，
即a≥-

1

x3

在（0，1]上恒成立，
令g(x)=-

1

x3

，x∈(0，1]，
g（x）在（0，1]上是單調(diào)增函數(shù)，
所以[g（x）]_max=g（1）=-1，
所以a≥-1．…（8分）
（Ⅲ）①當(dāng)a≥-1時(shí)，
由（II）知f（x）在（0，1]上是增函數(shù)，
所以[f（x）]_max=f（1）=-6，
解得a=-

5

2

，與a≥-1矛盾．…（10分）
②當(dāng)a＜-1時(shí)，
令f'（x）=0，x=

3	- 1 a

∈(0，1]，
當(dāng)x∈(0，

3	- 1 a

 )時(shí)，
f′(x)=2(a+

1

x3

)＞0，f（x）是增函數(shù)，
當(dāng)x∈(

3	- 1 a

，1 )時(shí)，
f′(x)=2(a+

1

x3

)＜0，f（x）是減函數(shù)．
所以[f(x)]max=f(

3	- 1 a

)=-6，
即2a

3	- 1 a

-

1

( 3 - 1 a )2

=-6，
解得

3	- 1 a

=

2

2

，a=-2

2

．
綜上，存在a=-2

2

，
使得當(dāng)x∈（0，1]時(shí)，
f（x）有最大值-6．…（14分）

點(diǎn)評：本題考查得用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上最值的應(yīng)用，對數(shù)學(xué)思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強(qiáng)，難度大，易出錯(cuò)．考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查函數(shù)與方程思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想，是高考的重點(diǎn)，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)性質(zhì)的靈活運(yùn)用．