已知數(shù)列{a
n}滿足:a
n+1+a
n=4n-3(n∈N
*)
(1)若a
1=2,求數(shù)列{a
n}的前20項和S
20;
(2)若對任意的n∈N
*都有
≥3成立,求a
1的取值范圍;
(3)若數(shù)列{a
3n-2}(n∈N
*)為等差數(shù)列,求證:數(shù)列{a
n}為等差數(shù)列.
分析:(1)S
20=(a
1+a
2)+(a
3+a
4)+…+(a
19+a
20)分組后,利用a
n+1+a
n=4n-3,求出每個括號的值,進行求和
(2))利用
an+12+an2≥,化
≥3為
≥=
,n≥3時
≥3,.
≥3恒成立,所以只要再n=1,2時,
≥3成立即可.
(3)a
n+1+a
n=4n-3(n∈N
*),∴a
n+2+a
n+1=4n+1,兩式相減得出a
n+2-a
n=4.繼而a
2k+1-a
2k-1=4.所以a
2k-1=a
1+(k-1)×4.①又由已知,a
2k+a
2k-1=4×(2k-1)-3,∴a
2k=4k-3-a
1②因為數(shù)列{a
3n-2}(n∈N
*)為等差數(shù)列,所以a
3n-2=a
1+(n-1)d③.利用特殊項,可以求得a
2k-1=
-+(k-1)×4=4k-
.a(chǎn)
2k=4k-
,即當(dāng)n=2k-1時,a
n=2n-
,當(dāng)n=2k-1時,a
n=2n-
,綜上所述,a
n=2n-
,a
n+1-a
n=2,數(shù)列{a
n}為等差數(shù)列.
解答:解:a
n+1+a
n=4n-3(n∈N
*)
S
20=(a
1+a
2)+(a
3+a
4)+…+(a
19+a
20)
=(4×1-3)+(4×3-3)+…+(4×19-3)
=4×(1+3+…+19)-3×10
=4×
-30
=370
(2)∵
an+12+an2≥又∵a
n+1+a
n=4n-3(n∈N
*),
∴
≥=
,
n≥3時
≥3,.
≥3恒成立,
所以只要再n=1,2時,
≥3成立即可.
a
1+a
2=1,a
3+a
4=5,所以只要
| +(1-a1)2≥3 | (1-a1)2+(a1+4)2≥15 |
| |
解得
a1≥或a≤(3)∵a
n+1+a
n=4n-3(n∈N
*),∴a
n+2+a
n+1=4n+1,
兩式相減得出a
n+2-a
n=4.繼而a
2k+1-a
2k-1=4.所以a
2k-1=a
1+(k-1)×4.①
又由已知,a
2k+a
2k-1=4×(2k-1)-3,∴a
2k=4k-3-a
1②
因為數(shù)列{a
3n-2}(n∈N
*)為等差數(shù)列,所以a
3n-2=a
1+(n-1)d③
在③中分別取n=2,3得到a
4=a
1+d,④a
7=a
1+2d,⑤
在②中取k=2,得a
4=5-a
1,⑥
在①中取k=4,a
7=a
1+12,⑦
由⑤⑦得d=6,帶入④⑥得a
1=
-,
代入①②分別得a
2k-1=
-+(k-1)×4=4k-
.a(chǎn)
2k=4k-
,即當(dāng)n=2k-1時,a
n=2n-
,當(dāng)n=2k-1時,a
n=2n-
,綜上所述,a
n=2n-
,a
n+1-a
n=2,數(shù)列{a
n}為等差數(shù)列.
點評:本題考查數(shù)列求和運算,不等式恒成立,數(shù)列性質(zhì)的判定,通項公式求解,分類討論、構(gòu)造的思想方法.思維靈活性大,邏輯關(guān)系較復(fù)雜.
練習(xí)冊系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué)
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題型:
已知數(shù)列{a
n}滿足:a
1=1且
an+1=, n∈N*.
(1)若數(shù)列{b
n}滿足:
bn=(n∈N*),試證明數(shù)列b
n-1是等比數(shù)列;
(2)求數(shù)列{a
nb
n}的前n項和S
n;
(3)數(shù)列{a
n-b
n}是否存在最大項,如果存在求出,若不存在說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué)
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題型:
已知數(shù)列{a
n}滿足
a1+a2+a3+…+an=2n+1則{a
n}的通項公式
.
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科目:高中數(shù)學(xué)
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題型:
已知數(shù)列{a
n}滿足:a
1=
,且a
n=
(n≥2,n∈N
*).
(1)求數(shù)列{a
n}的通項公式;
(2)證明:對于一切正整數(shù)n,不等式a
1•a
2•…a
n<2•n!
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科目:高中數(shù)學(xué)
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題型:
已知數(shù)列{a
n}滿足a
n+1=|a
n-1|(n∈N
*)
(1)若
a1=,求a
n;
(2)若a
1=a∈(k,k+1),(k∈N
*),求{a
n}的前3k項的和S
3k(用k,a表示)
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科目:高中數(shù)學(xué)
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題型:
(2012•北京模擬)已知數(shù)列{a
n}滿足a
n+1=a
n+2,且a
1=1,那么它的通項公式a
n等于
2n-1
2n-1
.
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