已知數(shù)列{an}滿足:an+1+an=4n-3(n∈N*
(1)若a1=2,求數(shù)列{an}的前20項和S20;
(2)若對任意的n∈N*都有
an+12+an2an+1+an
≥3成立,求a1的取值范圍;
(3)若數(shù)列{a3n-2}(n∈N*)為等差數(shù)列,求證:數(shù)列{an}為等差數(shù)列.
分析:(1)S20=(a1+a2)+(a3+a4)+…+(a19+a20)分組后,利用an+1+an=4n-3,求出每個括號的值,進行求和
(2))利用an+12+an2
(an+1+an)2
2
,化
an+12+an2
an+1+an
≥3為
an+12+an2
an+1+an
an+1+an 
2
=
4n-3
2
,n≥3時
4n-3
2
≥3,.
an+12+an2
an+1+an
≥3恒成立,所以只要再n=1,2時,
an+12+an2
an+1+an
≥3成立即可.
(3)an+1+an=4n-3(n∈N*),∴an+2+an+1=4n+1,兩式相減得出an+2-an=4.繼而a2k+1-a2k-1=4.所以a2k-1=a1+(k-1)×4.①又由已知,a2k+a2k-1=4×(2k-1)-3,∴a2k=4k-3-a1②因為數(shù)列{a3n-2}(n∈N*)為等差數(shù)列,所以a3n-2=a1+(n-1)d③.利用特殊項,可以求得a2k-1=-
1
2
+(k-1)×4=4k-
9
2
.a(chǎn)2k=4k-
5
2
,即當(dāng)n=2k-1時,an=2n-
5
2
,當(dāng)n=2k-1時,an=2n-
5
2
,綜上所述,an=2n-
5
2
,an+1-an=2,數(shù)列{an}為等差數(shù)列.
解答:解:an+1+an=4n-3(n∈N*
S20=(a1+a2)+(a3+a4)+…+(a19+a20
=(4×1-3)+(4×3-3)+…+(4×19-3)
=4×(1+3+…+19)-3×10
=4×
(1+19)×10
2
-30
=370
(2)∵an+12+an2
(an+1+an)2
2

又∵an+1+an=4n-3(n∈N*),
an+12+an2
an+1+an
an+1+an 
2
=
4n-3
2
,
n≥3時
4n-3
2
≥3,.
an+12+an2
an+1+an
≥3恒成立,
所以只要再n=1,2時,
an+12+an2
an+1+an
≥3成立即可.
a1+a2=1,a3+a4=5,所以只要
a
2
1
+(1-a1)2≥3
(1-a1)2+(a1+4)2≥15

解得a1
1+
5
2
或a≤
-3-
5
2

(3)∵an+1+an=4n-3(n∈N*),∴an+2+an+1=4n+1,
兩式相減得出an+2-an=4.繼而a2k+1-a2k-1=4.所以a2k-1=a1+(k-1)×4.①
又由已知,a2k+a2k-1=4×(2k-1)-3,∴a2k=4k-3-a1
因為數(shù)列{a3n-2}(n∈N*)為等差數(shù)列,所以a3n-2=a1+(n-1)d③
在③中分別取n=2,3得到a4=a1+d,④a7=a1+2d,⑤
在②中取k=2,得a4=5-a1,⑥
在①中取k=4,a7=a1+12,⑦
由⑤⑦得d=6,帶入④⑥得a1=-
1
2
,
代入①②分別得a2k-1=-
1
2
+(k-1)×4=4k-
9
2
.a(chǎn)2k=4k-
5
2
,即當(dāng)n=2k-1時,an=2n-
5
2
,當(dāng)n=2k-1時,an=2n-
5
2
,綜上所述,an=2n-
5
2
,an+1-an=2,數(shù)列{an}為等差數(shù)列.
點評:本題考查數(shù)列求和運算,不等式恒成立,數(shù)列性質(zhì)的判定,通項公式求解,分類討論、構(gòu)造的思想方法.思維靈活性大,邏輯關(guān)系較復(fù)雜.
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已知數(shù)列{an}滿足:a1=1且an+1=
3+4an
12-4an
, n∈N*

(1)若數(shù)列{bn}滿足:bn=
1
an-
1
2
(n∈N*)
,試證明數(shù)列bn-1是等比數(shù)列;
(2)求數(shù)列{anbn}的前n項和Sn;
(3)數(shù)列{an-bn}是否存在最大項,如果存在求出,若不存在說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知數(shù)列{an}滿足
1
2
a1+
1
22
a2+
1
23
a3+…+
1
2n
an=2n+1
則{an}的通項公式
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知數(shù)列{an}滿足:a1=
3
2
,且an=
3nan-1
2an-1+n-1
(n≥2,n∈N*).
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)證明:對于一切正整數(shù)n,不等式a1•a2•…an<2•n!

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知數(shù)列{an}滿足an+1=|an-1|(n∈N*
(1)若a1=
54
,求an;
(2)若a1=a∈(k,k+1),(k∈N*),求{an}的前3k項的和S3k(用k,a表示)

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(2012•北京模擬)已知數(shù)列{an}滿足an+1=an+2,且a1=1,那么它的通項公式an等于
2n-1
2n-1

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