Question

已知數(shù)列{a_n}滿足：a_n+1+a_n=4n-3（n∈N^*）
（1）若a₁=2，求數(shù)列{a_n}的前20項和S₂₀；
（2）若對任意的n∈N^*都有

an+12+an2

an+1+an

≥3成立，求a₁的取值范圍；
（3）若數(shù)列{a_3n-2}（n∈N^*）為等差數(shù)列，求證：數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列．

Answer 1

分析：（1）S₂₀=（a₁+a₂）+（a₃+a₄）+…+（a₁₉+a₂₀）分組后，利用a_n+1+a_n=4n-3，求出每個括號的值，進行求和
（2））利用an+12+an2≥

(an+1+an)2

2

，化

an+12+an2

an+1+an

≥3為

an+12+an2

an+1+an

≥

an+1+an

2

=

4n-3

2

，n≥3時

4n-3

2

≥3，.

an+12+an2

an+1+an

≥3恒成立，所以只要再n=1，2時，

an+12+an2

an+1+an

≥3成立即可．
（3）a_n+1+a_n=4n-3（n∈N^*），∴a_n+2+a_n+1=4n+1，兩式相減得出a_n+2-a_n=4．繼而a_2k+1-a_2k-1=4．所以a_2k-1=a₁+（k-1）×4．①又由已知，a_2k+a_2k-1=4×（2k-1）-3，∴a_2k=4k-3-a₁②因為數(shù)列{a_3n-2}（n∈N^*）為等差數(shù)列，所以a_3n-2=a₁+（n-1）d③．利用特殊項，可以求得a_2k-1=-

1

2

+（k-1）×4=4k-

9

2

．a(chǎn)_2k=4k-

5

2

，即當(dāng)n=2k-1時，a_n=2n-

5

2

，當(dāng)n=2k-1時，a_n=2n-

5

2

，綜上所述，a_n=2n-

5

2

，a_n+1-a_n=2，數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列．

解答：解：a_n+1+a_n=4n-3（n∈N^*）
S₂₀=（a₁+a₂）+（a₃+a₄）+…+（a₁₉+a₂₀）
=（4×1-3）+（4×3-3）+…+（4×19-3）
=4×（1+3+…+19）-3×10
=4×

(1+19)×10

2

-30
=370
（2）∵an+12+an2≥

(an+1+an)2

2

又∵a_n+1+a_n=4n-3（n∈N^*），
∴

an+12+an2

an+1+an

≥

an+1+an

2

=

4n-3

2

，
n≥3時

4n-3

2

≥3，.

an+12+an2

an+1+an

≥3恒成立，
所以只要再n=1，2時，

an+12+an2

an+1+an

≥3成立即可．
a₁+a₂=1，a₃+a₄=5，所以只要

a 2 1 +(1-a1)2≥3 (1-a1)2+(a1+4)2≥15

解得a1≥

1+ 5

2

或a≤

-3- 5

2

（3）∵a_n+1+a_n=4n-3（n∈N^*），∴a_n+2+a_n+1=4n+1，
兩式相減得出a_n+2-a_n=4．繼而a_2k+1-a_2k-1=4．所以a_2k-1=a₁+（k-1）×4．①
又由已知，a_2k+a_2k-1=4×（2k-1）-3，∴a_2k=4k-3-a₁②
因為數(shù)列{a_3n-2}（n∈N^*）為等差數(shù)列，所以a_3n-2=a₁+（n-1）d③
在③中分別取n=2，3得到a₄=a₁+d，④a₇=a₁+2d，⑤
在②中取k=2，得a₄=5-a₁，⑥
在①中取k=4，a₇=a₁+12，⑦
由⑤⑦得d=6，帶入④⑥得a₁=-

1

2

，
代入①②分別得a_2k-1=-

1

2

+（k-1）×4=4k-

9

2

．a(chǎn)_2k=4k-

5

2

，即當(dāng)n=2k-1時，a_n=2n-

5

2

，當(dāng)n=2k-1時，a_n=2n-

5

2

，綜上所述，a_n=2n-

5

2

，a_n+1-a_n=2，數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列．

點評：本題考查數(shù)列求和運算，不等式恒成立，數(shù)列性質(zhì)的判定，通項公式求解，分類討論、構(gòu)造的思想方法．思維靈活性大，邏輯關(guān)系較復(fù)雜．