Question

已知定義域為R的函數f(x)=

1-3x

a+3x+1

（1）a=1，求證函數f（x）不是奇函數．
（2）若此函數是奇函數，
    ①若在[-1，2]上存在m，使

2

3

ak+4m＞2m2+6成立，求k的取值范圍．
    ②對任意的x∈R⁺，不等式f[m(log3x)2+1]+f[-m(log3x)-2]＞0恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據函數奇偶性的定義進行證明．
（2）根據函數奇偶性的應用和函數單調性之間的關系解不等式．

解答：解：（1）a=1時，f(x)=

1-3x

1+3x+1

，
∵f（-1）=

1

3

，f（1）=

1-3

1+9

=-

2

10

=-

1

5

，
∴f（-1）≠-f（1），
∴f（x）不是奇函數．
（2）∵f（x）為奇函數，
∴f（-x）=-f（x），
∴f(-x)=

1-3-x

a+3-x+1

=

3x-1

3+a?3x

=-

1-3x

a+3x+1

，
∴a=3．
①據題意得：在[-1，2]上存在m，使

2

3

ak+4m＞2m2+6成立，
即2k＞2m²+6-4m，
∴k＞m²-2m+3在m∈[-1，2]上成立，
設g（m）=m²-2m+3=（m-1）²+2，
則k＞[g（x）]_min
∵-1≤m≤2，
∴2≤g（m）≤6，
∴在[-1，2]上存在m，使

2

3

ak+4m＞2m2+6成立，
則k＞2．
②令t=log?₃x，x＞0，
∴原不等式等價為f（mt²+1）＞-f（-mt-2），
∵函數f（x）是奇函數，
∴f（-x）=-f（x），
即不等式等價為f（mt²+1）＞-f（-mt-1）＞f（mt+2），
當a=3時，f(x)=

1-3x

3+3x+1

=-

1

3

+

2

3

?

1

3x+1

，
∵y=3^x+1單調遞增且y＞0，
∴y=

2

3

?

1

3x+1

在R上單調遞減，
∴函數f(x)=

1-3x

3+3x+1

=-

1

3

+

2

3

?

1

3x+1

在R上單調遞減，
∴不等式等價為mt²+1＜mt+2恒成立
即mt²-mt-1＜0恒成立．
討論：①m=0，-1＜0成立，滿足條件．
②若m≠0，要使不等式恒成立，
則

m＜0 △=m2+4m＜0

，
即

m＜0 -4＜m＜0

，∴-4＜m＜0，
綜上-4＜m≤0．

點評：本題主要考查函數奇偶性的應用，以及一元二次不等式恒成立問題，考查學生的運算能力，綜合性較強，運算量較大，涉及的知識點較多．