Question

已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為2，P、Q分別是BC、CD上的動點，且|PQ|=，建立如圖所示的坐標(biāo)系．
（1）確定P、Q的位置，使得B₁Q⊥D₁P；
（2）當(dāng)B₁Q⊥D₁P時，求二面角C₁-PQ-A的大�。�

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)BP=t，求出CQ，DQ，P（2，t，0），利用•=0，解得t=1．推出P、Q分別是棱BC、CD的中點，即P、Q分別是棱BC、CD的中點時，B₁Q⊥D₁P；
（2）當(dāng)B₁Q⊥D₁P時，由（1）知P、Q分別是棱BC、CD的中點．推出AC⊥PQ．設(shè)AC與PQ的交點為E，連接C₁E．說明∠C₁EC是二面角C₁-PQ-C的平面角，∠C₁EA是二面角C₁-PQ-A的平面角．在Rt△C₁EC中，求出二面角C₁-PQ-A的大小是π-arctan2．
解答：解：（1）設(shè)BP=t，則
CQ=，DQ=2-．
∴B₁（2，0，2），D₁（0，2，2），P（2，t，0），Q（2-，2，0），
∴=（，-2，2），=（-2，2-t，2）．
∵B₁Q⊥D₁P等價于•=0，
即-2-2（2-t）+2×2=0，
整理得=t，解得t=1．
此時，P、Q分別是棱BC、CD的中點，即P、Q分別是棱BC、CD的中點時，
B₁Q⊥D₁P；

（2）當(dāng)B₁Q⊥D₁P時，由（1）知P、Q分別是棱BC、CD的中點．
在正方形ABCD中，PQ∥BD，且AC⊥BD，故AC⊥PQ．
設(shè)AC與PQ的交點為E，連接C₁E．
∵在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，CC₁⊥底面ABCD，CE是C₁E在底面ABCD內(nèi)的射影，∴C₁E⊥PQ，
即∠C₁EC是二面角C₁-PQ-C的平面角，∠C₁EA是二面角C₁-PQ-A的平面角．
在正方形ABCD中，CE=，
在Rt△C₁EC中，tan∠C₁EC==2，
∴∠C₁EC=arctan2，
∠C₁EA=π-arctan2．
∴二面角C₁-PQ-A的大小是π-arctan2．
點評：本題考查直線與平面垂直的判定，以及與二面角相關(guān)的立體幾何問題綜合運用．通過數(shù)形結(jié)合，以及對知識的綜合考查，達到考查學(xué)生基本能力的目的，屬于中檔題．