Question

6．已知函數f（x）=$\frac{lnx}{a}$+x在x=1處的切線方程為2x-y+b=0．
（Ⅰ）求實數a，b的值；
（Ⅱ）若函數g（x）=f（x）+$\frac{1}{2}$x²-kx，且g（x）是其定義域上的增函數，求實數k的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求導數，利用函數f（x）在x=1處的切線方程為2x-y+b=0，建立方程組求實數a，b的值；
（Ⅱ）g（x）在其定義域上是增函數，即g′（x）≥0在其定義域上有解，分離參數求最值，即可求實數k的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=$\frac{lnx}{a}$+x，
∴f′（x）=$\frac{1}{ax}$+1，
∵f（x）在x=1處的切線方程為2x-y+b=0，
∴$\frac{1}{a}$+1=2，2-1+b=0，
∴a=1，b=-1；
（Ⅱ）f（x）=lnx+x，g（x）=$\frac{1}{2}$x²-kx+lnx+x，
∴g′（x）=x-k+$\frac{1}{x}$+1，
∵g（x）在其定義域（0，+∞）上是增函數，
∴g′（x）≥0在其定義域上恒成立，
∴x-k+$\frac{1}{x}$+1≥0在其定義域上恒成立，
∴k≤x+$\frac{1}{x}$+1在其定義域上恒成立，
而x+$\frac{1}{x}$+1≥2$\sqrt{x•\frac{1}{x}}$+1=3，當且僅當x=1時“=”成立，
∴k≤3．

點評 本題考查導數的幾何意義，考查函數的單調性，正確求導數是關鍵．