Question

已知函數(shù)f(x)=a|x|-

1

ax

（其中a＞0且a≠1，a為實數(shù)常數(shù)）．
（1）若f（x）=2，求x的值（用a表示）；
（2）若a＞1，且a^tf（2t）+mf（t）≥0對于t∈[1，2]恒成立，求實數(shù)m的取值范圍（用a表示）．

Answer 1

分析：（1）首先對自變量x分x＜0和x≥0兩種情況去掉函數(shù)內(nèi)的絕對值符號，然后分別令f（x）=2，就可求出x的值．
（2）根據(jù)a＞1和t∈[1，2]的條件，對不等式進行等價轉(zhuǎn)化，將參數(shù)m分離，從而轉(zhuǎn)化成函數(shù)求最值問題，最終確定m的取值范圍．

解答：解：（1）當x＜0時f（x）=0，當x≥0時，f(x)=ax-

1

ax

．…．（2分）
由條件可知，ax-

1

ax

=2，即a^2x-2•a^x-1=0解得ax=1±

2

…（6分）
∵a^x＞0，∴x=loga(1+

2

)…..（8分）
（2）當t∈[1，2]時，at(a2t-

1

a2t

)+m(at-

1

at

)≥0…（10分）
即 m（a^2t-1）≥-（a^4t-1）∵a＞1，t∈[1，2]∴a^2t-1＞0，∴m≥-（a^2t+1）…（13分）
∵t∈[1，2]，∴a^2t+1∈[a²+1，a⁴+1]∴-（a^2t+1）∈[-1-a⁴，-1-a²]
故m的取值范圍是[-1-a²，+∞）…．（16分）

點評：本題主要考查了指數(shù)的運算性質(zhì)和函數(shù)恒成立問題，函數(shù)恒成立問題一般的方法是直接構(gòu)造函數(shù)求最值或分離常數(shù)之后在構(gòu)造函數(shù)求最值兩種策略，因為函數(shù)表達式中含有絕對值所以，先考慮取絕對值．